Olasılık Hesaplama

Olasılık hesaplama aracı ne yapar?

Araç dört tür soruyu çözer: istenen durum sayısının tüm durumlara oranı (klasik olasılık), iki bağımsız olayın birlikte ya da en az birinin gerçekleşmesi, bir olayın n denemede en az bir kez ya da tam k kez gerçekleşmesi ve torbadan geri koymadan yapılan çekilişler. Sonucu kesir, yüzde ve ondalık olarak verir; "Hesaplama adımları" bölümünde kullanılan formülü sayılarınla birlikte görürsün.

Olasılık, bir olayın gerçekleşme şansını 0 ile 1 arasında bir sayıyla anlatır. 0 imkânsız olayı, 1 kesin olayı gösterir. Yüzde olarak yazıldığında aynı aralık %0 ile %100 olur. Hilesiz bir zarda 6 gelme olasılığı 1/6, yani yaklaşık %16,67'dir. Bu sayı "her altı atışta bir kez 6 gelir" demek değildir; çok sayıda atış yapıldığında 6 gelen atışların oranının 1/6'ya yaklaşacağını söyler.

Klasik olasılık formülü

Bütün sonuçların aynı olasılıkla gerçekleştiği bir deneyde:

P(A) = istenen durum sayısı ÷ tüm durumların sayısı
P(A') = 1 − P(A)        (tümleyen: A'nın gerçekleşmemesi)

Son satırdaki 36, iki zarın birlikte verebileceği sıralı sonuç sayısıdır (6 × 6). Toplamı 7 yapan çiftler (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) olmak üzere altı tanedir. Tüm durumları sayarken sıralı mı sırasız mı saydığına dikkat etmen gerekir; sayma kuralları için permütasyon ve kombinasyon araçlarına bakabilirsin.

Formül yalnız sonuçlar eşit olasılıklıysa geçerlidir. "Yarın ya yağmur yağar ya yağmaz, o hâlde olasılık 1/2" akıl yürütmesi yanlıştır, çünkü iki sonucun şansı eşit değildir.

Bağımsız olaylarda "ve" ile "veya"

Birinin sonucu diğerini etkilemiyorsa iki olay bağımsızdır: iki ayrı zar, art arda atılan madeni paralar, birbirinden habersiz iki makinenin arızası gibi.

Birlikte (A ve B):   P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
En az biri (A veya B): P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
Hiçbiri:              P = (1 − P(A)) × (1 − P(B))
Yalnız biri:          P(A ∪ B) − P(A ∩ B)

P(A) = %50 ve P(B) = %30 iken birlikte gerçekleşme 0,5 × 0,3 = 0,15 (%15), en az biri 0,5 + 0,3 − 0,15 = 0,65 (%65), hiçbiri 0,5 × 0,7 = 0,35 (%35), yalnız biri 0,65 − 0,15 = 0,50 (%50) çıkar. Kontrol için: "hiçbiri" ile "en az biri" toplamı her zaman 1'dir.

"Veya" hesabında birlikte gerçekleşme olasılığını çıkarmayı unutmak sık yapılan bir hatadır. İki olayın olasılıkları %70 ve %60 olsaydı basit toplam %130 ederdi; olasılık 1'i aşamayacağı için bu sonucun yanlış olduğu hemen anlaşılır. Doğrusu 0,7 + 0,6 − 0,42 = 0,88'dir.

Olaylar ayrıksa (aynı anda gerçekleşemiyorsa, ör. tek zarda hem 1 hem 6 gelmesi) P(A ∩ B) = 0 olur ve "veya" düz toplama döner: 1/6 + 1/6 = 1/3. Ayrık olaylar bağımsız değildir; biri gerçekleşince diğerinin olasılığı sıfıra iner.

n denemede en az bir kez

"En az bir kez" sorularında doğrudan saymak zordur, tümleyen yolu ise kısadır: olayın hiç gerçekleşmeme olasılığı bulunur ve 1'den çıkarılır.

P(hiç) = (1 − p)ⁿ
P(en az bir kez) = 1 − (1 − p)ⁿ

Bir zarı 4 kez atınca en az bir 6 gelme olasılığı 1 − (5/6)⁴ = 1 − 625/1296 = 671/1296 ≈ %51,77'dir. İki zarı 24 kez atınca en az bir kez çift 6 gelme olasılığı ise 1 − (35/36)²⁴ ≈ %49,14 çıkar. Bu iki sonucun farkı 17. yüzyılda kumarbaz Chevalier de Méré'nin sorusu olarak bilinir ve Pascal ile Fermat'nın yazışmalarıyla olasılık hesabının başlangıç noktalarından biri sayılır.

Her denemede şansı %10 olan bir olay 10 denemede en az bir kez %65,13 olasılıkla gerçekleşir (1 − 0,9¹⁰). Yani "10 denemede kesin bir kez olur" sezgisi yanlıştır.

Tam k kez: binom dağılımı

Olayın n denemede tam k kez gerçekleşme olasılığı binom formülüyle bulunur:

P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ

C(n, k), k başarının n deneme arasına kaç farklı biçimde yerleşebileceğini sayar. 10 kez atılan madeni parada tam 5 yazı gelme olasılığı C(10, 5) × 0,5¹⁰ = 252 / 1024 ≈ %24,61'dir. "En az k kez" için k'dan n'e kadar bütün olasılıklar toplanır. Araç n en fazla 1000 olacak şekilde bu toplamı hesaplar ve beklenen gerçekleşme sayısını (n × p) da gösterir. C(n, k) değeri kombinasyon aracının kullandığı aynı hesapla bulunur.

Torbadan çekiliş (geri koymadan)

Çekilen nesne torbaya geri konmuyorsa olasılıklar her çekilişte değişir; bu yüzden olaylar bağımsız değildir. Sıra önemli değilse soru kombinasyonla çözülür:

P = C(K, k) × C(N − K, n − k) ÷ C(N, n)
N: torbadaki toplam nesne, K: istenen türdekiler,
n: çekilen sayı, k: çekilenlerden istenen türde olanlar

5 kırmızı ve 3 mavi topun bulunduğu torbadan 2 top çekiliyor. İkisinin de kırmızı olma olasılığı C(5, 2) ÷ C(8, 2) = 10 ÷ 28 = 5/14 ≈ %35,71'dir. Tam birinin kırmızı olma olasılığı C(5, 1) × C(3, 1) ÷ 28 = 15/28 ≈ %53,57 olur. Aynı soruyu sırayla düşünerek de çözebilirsin: ilk top kırmızı 5/8, ikinci top da kırmızı 4/7, çarpımları 20/56 = 5/14.

Sayısal lotoda 49 sayıdan 6'sını doğru tahmin etme olasılığı bu formülle 1 / C(49, 6) = 1 / 13.983.816 bulunur. Araç çok küçük olasılıkları %0 diye yuvarlamaz, bilimsel gösterimle yazar (%7,15e-6 gibi).

Rastgele işaretlenen test için bir hesap örneği

Bir öğrenci beş seçenekli 10 soruyu hiç okumadan, rastgele işaretliyor. Her soruda doğru seçeneği bulma olasılığı 1/5, yani %20. Soru şu: en az kaç doğru beklemeli, 3 doğru çıkarma şansı ne? Araçta "n denemede en az bir kez / tam k kez" türünü seçip şunları girdim:

1. Bir denemede gerçekleşme olasılığı: 20 (yüzde olarak).
2. Deneme sayısı (n): 10.
3. Gerçekleşme sayısı (k): 3.

Araç şu sonuçları verdi:

Adımlarda tam 3 kez satırı C(10, 3) × p³ × (1 − p)⁷ olarak yazılıyor ve C(10, 3) = 120 çıkıyor. "En az 3 kez" satırı ise P(X = 3)'ten P(X = 10)'a kadar bütün olasılıkların toplamı.

Bu tabloda iki şey dikkatimi çekti. Beklenen değer 2 doğru, ama 10 sorunun en az 3'ünü tutturma olasılığı yine de üçte bir civarında. Beklenen değer ortalamayı gösterir, tek bir denemede ne çıkacağını söylemez. İkinci sütun için her soruda bir yanlış seçeneği elediğimi varsaydım ve olasılığı %25'e çıkardım. Bir denemedeki olasılık yalnız 5 puan arttı, en az 3 doğru olasılığı ise %32'den %47'ye çıktı. Binom dağılımında küçük bir p değişikliği on denemenin hepsine birden yansıdığı için kuyruk olasılıkları hızlı büyür.

Aynı girdilerle k'yı 5 yaparsan tam 5 doğru olasılığı %2,6424'e, en az 5 doğru olasılığı %3,2793'e düşüyor. Rastgele işaretlemeyle testin yarısını tutturmak yüz denemenin ancak üçünde olur.

Olasılık hesabında sık yapılan hatalar

• Sonuçların eşit olasılıklı olup olmadığını kontrol etmeden klasik formülü kullanmak.
• Bağımlı olaylarda olasılıkları doğrudan çarpmak. Geri koymadan çekilişte ikinci çekilişin olasılığı değişir.
• "Veya" hesabında ortak kısmı çıkarmamak; sonuç 1'i aşıyorsa bu hatanın işaretidir.
• Kumarbaz yanılgısı: art arda 5 kez yazı geldi diye bir sonraki atışta turanın daha olası olduğunu sanmak. Bağımsız atışlarda olasılık her seferinde 1/2'dir.
• "En az bir kez" sorusunu tek tek durumları toplayarak çözmeye çalışmak ve bazı durumları iki kez saymak.

Sıkça sorulan sorular

Olasılık yüzde olarak mı, kesir olarak mı yazılır?

İkisi de doğrudur. Okulda çoğunlukla kesir (1/6), günlük dilde yüzde (%16,67) kullanılır. Araç üçünü (kesir, yüzde, ondalık) birlikte gösterir; kesirle çalışmak için kesir aracına bakabilirsin.

Olasılık 1'den büyük çıkabilir mi?

Hayır. Hesap 1'den büyük çıkıyorsa genellikle istenen durumlar yanlış sayılmış ya da "veya" hesabında ortak kısım çıkarılmamıştır.

Bağımsız olay ile ayrık olay aynı şey mi?

Hayır, neredeyse zıttırlar. Bağımsız olaylarda biri diğerini etkilemez ve ikisi birlikte gerçekleşebilir. Ayrık olaylar aynı anda gerçekleşemez; biri olunca diğerinin şansı sıfırlanır.

Piyango ya da kura çekilişinde şansım nasıl hesaplanır?

Kazanan bilet sayısını toplam bilet sayısına böl. 1000 biletin 3'ü kazanıyorsa tek biletle şansın 3/1000'dir. Kendi kuranı çekmek için rastgele sayı aracını kullanabilirsin.

Kaç denemede olasılık %50'yi geçer?

1 − (1 − p)ⁿ ≥ 0,5 eşitsizliği n ≥ ln 0,5 ÷ ln(1 − p) ile çözülür. %10'luk bir olay için bu 6,58'dir, yani 7. denemede en az bir kez gerçekleşme şansı %50'yi geçer. Logaritma hesabı için logaritma aracını kullanabilirsin.

Olasılık aracını nasıl kullanırım?

Hesaplama türünü seç ve yalnız görünen alanları doldur. Klasik olasılıkta istenen ve tüm durum sayısını, bağımsız olaylarda iki olasılığı yüzde olarak (0,3 için 30), tekrarlı denemede bir denemedeki olasılığı, deneme ve gerçekleşme sayısını, torbadan çekilişte toplam nesneyi, istenen türdekileri ve çekiliş sayısını yaz. Varsayılan örnek zarda 6 gelme olasılığıdır ve 1/6 sonucunu verir.

Kaynaklar

• T.C. Millî Eğitim Bakanlığı, Ortaokul Matematik (8. sınıf "Basit Olayların Olma Olasılığı") ve Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı (10. sınıf "Sayma ve Olasılık") (mufredat.meb.gov.tr).
• Binom ve hipergeometrik dağılım formülleri standart olasılık kuramından alınmıştır; aracın sonuçları elle hesaplanan örneklerle (zar, madeni para, 6/49 loto) karşılaştırıldı.