Logaritma Hesaplama

Logaritma hesaplama aracı ne yapar?

Tabanı (10, e, 2 ya da istediğin pozitif bir sayı) ve x'i yazdığında araç logₐ x değerini bulur. Sonuç tam sayıysa bunu ayrıca belirtir ve kontrolünü gösterir (2³ = 8 gibi). Aynı sayının ln, log ve log₂ değerleri de yan yana çıkar. Ters işlem seçeneğinde logaritma değerinden sayıya dönersin: aʸ hesaplanır. Sonucun altındaki tablo, logaritma kurallarını senin sayılarınla örnekler.

Logaritma, üs almanın tersidir. "2'nin kaçıncı kuvveti 8 eder?" sorusunun cevabı 3'tür ve bu log₂ 8 = 3 diye yazılır. Genel tanım şöyle:

logₐ x = y  ⇔  aʸ = x      (a > 0, a ≠ 1, x > 0)

log, ln ve log₂ arasındaki fark

Türkiye'deki ders kitaplarında ve hesap makinelerinde taban yazılmadan "log" deniyorsa taban 10'dur. Bazı programlama dillerinde ve yabancı kaynaklarda log tek başına doğal logaritmayı gösterebilir; kullandığın aracın hangi tabanı kastettiğine bakmak gerekir. e sayısı, sürekli bileşik büyümenin doğal sabitidir ve yaklaşık 2,718281828'dir. Fen bilimleri ve ekonomide büyüme ile azalma hesapları çoğunlukla ln ile yapılır; bilgisayar biliminde ise ikilik logaritma, bir sayıyı yazmak için gereken bit sayısını ya da bir listenin kaç kez ikiye bölünebileceğini verir.

Taban değiştirme formülü

Hesap makinelerinde genellikle yalnız log ve ln tuşu bulunur. Başka bir tabandaki logaritma bu ikisinden biriyle hesaplanır:

logₐ x = ln x ÷ ln a = log x ÷ log a

log₅ 10 için ln 10 ≈ 2,302585 ve ln 5 ≈ 1,609438 olduğundan sonuç 2,302585 ÷ 1,609438 ≈ 1,430677 bulunur. Aynı sonucu log ile de elde edersin: 1 ÷ 0,698970 ≈ 1,430677. Araç 10 ve 2 tabanlarında doğrudan bu tabanlara ait fonksiyonu, diğer tabanlarda taban değiştirme formülünü kullanır ve bu satırı adımlarda gösterir.

Logaritma kuralları

Kuralların hepsi üs kurallarından gelir. Çarpım kuralı, aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ eşitliğinin logaritma diliyle yazılmış hâlidir. Üslü ifadelerle çalışmak için üslü sayı aracını kullanabilirsin.

Kuralların olmayan "kardeşleri" en sık yapılan hatalardır: logₐ(x + y) ifadesi logₐ x + logₐ y'ye eşit değildir, logₐ x ÷ logₐ y de logₐ(x ÷ y) değildir. log(2 + 8) = log 10 = 1 iken log 2 + log 8 = log 16 ≈ 1,2041 olur.

Tanımsız durumlar

• x ≤ 0 ise logaritma gerçek sayılarda tanımsızdır. Pozitif bir tabanın hiçbir kuvveti 0 ya da negatif bir sayı vermez. log 0 için x 0'a yaklaştıkça değer eksi sonsuza gider.
• Taban 1 olamaz. 1'in her kuvveti 1'dir; log₁ 5 sorusunun cevabı yoktur.
• Taban negatif ya da 0 olamaz. (−2)ʸ ifadesi ondalık y değerlerinde gerçek sayı vermediği için negatif taban tanım dışında tutulur.
• Taban 0 ile 1 arasında olabilir. Bu durumda büyük sayıların logaritması negatif çıkar: log₀,₅ 8 = −3, çünkü 0,5⁻³ = 8.

Araç bu durumların her birinde sonuç vermek yerine nedenini yazar.

Ters işlem: logaritmadan sayıya (antilogaritma)

logₐ x = y biliniyorsa x = aʸ'dir. log x = 2,5 ise x = 10^2,5 ≈ 316,227766; ln x = 1 ise x = e ≈ 2,718282'dir. Eski logaritma cetvellerinde bu işleme antilogaritma denirdi. Araçta "Ters işlem" seçeneğini seçip tabanı ve y değerini yazman yeterli; y negatif ya da ondalık olabilir (2⁻³ = 0,125).

Logaritma nerelerde kullanılır?

• Basamak sayısı: Pozitif bir tam sayının basamak sayısı, onluk logaritmasının tam kısmının 1 fazlasıdır. log(2⁶⁴) = 64 × 0,30103 ≈ 19,27 olduğundan 2⁶⁴ sayısı 20 basamaklıdır.
• Katlanma süresi: Yıllık %10 bileşik getiriyle paranın iki katına çıkması ln 2 ÷ ln 1,1 ≈ 7,27 yıl sürer. Getiri hesapları için bileşik faiz aracına bakabilirsin.
• pH: Kimyada pH = −log[H⁺]'dir; hidrojen iyonu derişimi 0,001 mol/L olan çözeltinin pH'ı 3'tür.
• Desibel ve deprem büyüklüğü gibi çok geniş aralıklı ölçekler de logaritmiktir; ölçekte 1 birimlik artış, ölçülen büyüklükte sabit bir katsayı kadar artış demektir.
• Sınavlarda üstel denklemleri çözmek: 3ˣ = 20 denkleminde x = log₃ 20 = ln 20 ÷ ln 3 ≈ 2,7268.

Logaritma hesabında sık yapılan hatalar

• log ile ln'i karıştırmak. log 100 = 2 iken ln 100 ≈ 4,6052'dir.
• Taban değiştirmede kesri ters yazmak. logₐ x = ln x ÷ ln a; payda tabanın logaritmasıdır.
• log(x + y) ifadesini parçalamak.
• (log x)² ile log(x²) ifadesini aynı sanmak. log 100 için ilki 4, ikincisi log 10000 = 4 çıkar; ama log 1000 için ilki 9, ikincisi 6'dır.
• Logaritmalı denklemde bulunan çözümün tanım kümesine uyup uymadığını kontrol etmemek; logaritmanın içi pozitif olmalıdır.

Sıkça sorulan sorular

log 2 kaçtır?

Yaklaşık 0,30103'tür. ln 2 ≈ 0,693147, log₂ 10 ≈ 3,321928'dir. Bu üç değer ezberde tutulursa pek çok hesap kısalır.

Logaritma sonucu neden çoğu zaman tam sayı çıkmıyor?

Tam sayı çıkması için x'in tabanın tam kuvveti olması gerekir (8 = 2³ gibi). Diğer durumlarda sonuç irrasyoneldir ve sonsuz ondalıklıdır; araç onu 12 anlamlı basamağa yuvarlar ve adımlarda "yaklaşık" diye işaretler.

Logaritma negatif olabilir mi?

Evet. Taban 1'den büyükken 0 ile 1 arasındaki sayıların logaritması negatiftir: log 0,01 = −2. Logaritmanın kendisi negatif olabilir; negatif olamayan, logaritması alınan sayıdır.

e sayısı nereden geliyor?

(1 + 1/n)ⁿ ifadesi n büyüdükçe 2,71828… değerine yaklaşır; bu sınır e'dir. Faizin sürekli eklendiği bir hesapta 1 liranın bir yılda %100 getiriyle ulaşabileceği en büyük tutar e liradır.

Logaritma aracını nasıl kullanırım?

Önce hesaplama türünü (logaritma ya da ters işlem), sonra tabanı seç. "Başka bir taban" seçersen taban kutusu açılır. Logaritma için x'i, ters işlem için y'yi yaz. Sonuç kutusunda değer ve kontrolü, logaritmada ayrıca ln, log ve log₂ karşılıkları görünür. Altta yedi kuralı senin sayılarınla örnekleyen tablo yer alır. Varsayılan örnek log₂ 8'dir ve 3 sonucunu verir. Kök hesapları için köklü sayı, sayı tabanı dönüşümleri için taban dönüşümü aracına bakabilirsin.

Kaynaklar

• T.C. Millî Eğitim Bakanlığı, Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı, 12. sınıf "Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar" ünitesi (mufredat.meb.gov.tr).
• Sabitler (e, ln 2, log 2) için NIST Digital Library of Mathematical Functions, Bölüm 4 "Elementary Functions".
• Aracın sonuçları tablodaki örneklerle ve ters işlemle (aʸ) karşılaştırılarak test edildi.