Alan Hesaplama

Alan nedir?

Alan, düz bir şeklin kapladığı yüzün büyüklüğüdür. Bir odanın zemini, bir tarlanın yüzü, bir duvarda boyanacak bölge ya da bir kumaş parçasının boyutu alanla ölçülür. Alan iki boyutlu bir ölçü olduğu için birimi uzunluk biriminin karesidir. Ölçüleri santimetre olarak girersen sonuç santimetrekare (cm²), metre olarak girersen metrekare (m²) olur.

Alanı çevreyle karıştırma. Çevre, şeklin sınırını oluşturan çizgilerin toplam uzunluğudur ve tek boyutludur. Alan ise o sınırın içinde kalan bölgeyi ölçer. Kenarı 4 metre olan bir karenin çevresi 16 m, alanı 16 m² çıkar; sayıların aynı olması tesadüftür ve iki değerin birimi farklıdır. Hesaplayıcı alan için sekiz şekli destekler: kare, dikdörtgen, üçgen, daire, yamuk, paralelkenar, eşkenar dörtgen ve elips.

Şekle göre alan formülleri

Hesaplayıcının kullandığı formüller aşağıda. a ve b girdiğin ölçüleri, r yarıçapı, h yüksekliği gösterir.

Kare              A = a × a
Dikdörtgen        A = a × b
Üçgen             A = (taban × yükseklik) ÷ 2
Daire             A = π × r²
Yamuk             A = ((a + b) × h) ÷ 2
Paralelkenar      A = taban × yükseklik
Eşkenar dörtgen   A = (köşegen₁ × köşegen₂) ÷ 2
Elips             A = π × a × b

Bu formüller birbirinden kopuk değildir; dörtgen ve üçgen formüllerinin hepsi dikdörtgenin alanından türer. Bir dikdörtgeni köşegeninden ikiye bölersen iki eş üçgen elde edersin, üçgenin alanının taban ile yüksekliğin çarpımının yarısı olması bundandır. Paralelkenarın bir ucundaki üçgen parçayı kesip karşı tarafa taşırsan aynı taban ve yükseklikte bir dikdörtgen oluşur; paralelkenarın alanı da bu yüzden taban çarpı yüksekliktir. Yamuğun alanı ise paralel kenarların ortalaması ile yüksekliğin çarpımıdır.

Kare ve dikdörtgen

Kare, dört kenarı eşit bir dikdörtgendir. Kenarı 6 cm olan karenin alanı 6 × 6 = 36 cm² olur. Kenarları 5 cm ve 4 cm olan dikdörtgenin alanı 5 × 4 = 20 cm² eder. Hesaplayıcıda kare için yalnızca a, dikdörtgen için a ve b ölçüsünü girmen yeterli.

Üçgen

Üçgenin alanı, taban ile o tabana ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Yükseklik, karşı köşeden tabana ya da tabanın uzantısına çizilen dik doğrunun uzunluğudur. Tabanı 6 cm, yüksekliği 4 cm olan üçgenin alanı (6 × 4) ÷ 2 = 12 cm² olur. Hesaplayıcıda a taban, b yükseklik olarak girilir. Üç kenarı bilip yüksekliği bilmiyorsan Heron formülünü kullanabilirsin, ama bu araç taban ve yükseklik ister.

Daire

Dairenin alanı, yarıçapın karesi ile π sabitinin çarpımıdır. Yarıçapı 5 cm olan dairenin alanı π × 5² = 25π, yani yaklaşık 78,54 cm² olur. Çapı biliyorsan önce ikiye bölüp yarıçapı bul: çapı 10 cm olan dairenin yarıçapı 5 cm'dir ve alan yine 78,54 cm² çıkar. Çapı yarıçap yerine girersen alan dört katına çıkar. En sık yapılan hata budur.

Yamuk

Yamukta iki kenar birbirine paraleldir. Bunlara taban denir ve araçta a ile b olarak girilir. Aralarındaki dik uzaklık yüksekliktir ve c olarak girilir. Paralel kenarları 8 cm ve 5 cm, yüksekliği 3 cm olan yamuğun alanı ((8 + 5) × 3) ÷ 2 = 19,5 cm² olur. Yamuğun eğik kenarlarının uzunluğu alan hesabına girmez.

Paralelkenar ve eşkenar dörtgen

Paralelkenarın alanı taban ile yüksekliğin çarpımıdır; burada eğik kenarı değil, dik yüksekliği kullanırsın. Tabanı 7 cm, yüksekliği 4 cm olan paralelkenarın alanı 28 cm² olur. Eşkenar dörtgen dört kenarı eşit bir paralelkenardır ve alanı köşegenlerinin çarpımının yarısıdır. Köşegenleri 10 cm ile 6 cm olan eşkenar dörtgenin alanı (10 × 6) ÷ 2 = 30 cm² eder. Araçta a ve b alanlarına köşegen uzunluklarını yazarsın.

Elips

Elipsi uzatılmış bir daire gibi düşünebilirsin. Alanı π × a × b ile bulunur. Buradaki a ve b yarı eksenlerdir, yani merkezden en uzak ve en yakın noktaya olan uzaklıklar. Yarı eksenleri 5 cm ve 3 cm olan elipsin alanı 15π, yani yaklaşık 47,12 cm² olur. İki yarı eksen eşitse formül dairenin alan formülüne döner.

Alan birimleri ve dönüşümler

Uzunluk biriminin karesini aldığında dönüşüm oranının da karesini alırsın. Bir metre 100 santimetre olduğundan bir metrekare 100 × 100 = 10.000 santimetrekaredir. Bir kilometrekare 1.000.000 metrekaredir. Tapu ve arazi işlerinde dönüm ile hektar da kullanılır: bir hektar 10.000 m², Türkiye'de kullanılan dönüm (dekar) ise 1000 m² kabul edilir.

1 m²  = 10.000 cm²
1 km² = 1.000.000 m²
1 hektar = 10.000 m²
1 dönüm (dekar) = 1000 m²

Bunu bir örnekle görelim. Boyutları 4 m ve 5 m olan bir odanın zemini 4 × 5 = 20 m² eder. Aynı alan santimetre cinsinden 400 × 500 = 200.000 cm² olur. Santimetrekareyi metrekareye çevirmek için 100'e değil 10.000'e bölmen gerekir: 200.000 ÷ 10.000 = 20 m². Alan hesaplarındaki en yaygın hatalardan biri birimleri karıştırmaktır.

Adım adım örnek alan hesabı

Yamuk biçiminde bir bahçe düşünelim. Paralel iki kenarı 12 m ve 8 m, bunların arasındaki dik uzaklık 6 m olsun.

1. Şekil: yamuk, a = 12, b = 8, c = 6 (yükseklik)
2. Paralel kenarların toplamı: 12 + 8 = 20
3. Alan: (20 × 6) ÷ 2 = 60 m²
4. Dönüm: 60 ÷ 1000 = 0,06 dönüm

Bu bahçeyi çimle kaplamak için yaklaşık 60 m² çim rulosu gerekir. Kesim ve birleşim kayıpları için malzemeyi yüzde 5 ila 10 fazla almak genellikle iyi fikirdir.

Alan hesabında sık yapılan hatalar

En yaygın hata, yükseklik yerine eğik kenarın uzunluğunu girmek. Üçgen, paralelkenar ve yamukta yükseklik her zaman tabana diktir. Dairede çapı yarıçap yerine yazmak da sık görülür. Bir kenarı metre, diğerini santimetre girersen sonuç anlamsızlaşır; birimleri tek tip tut. Çevre formülünü alan formülüyle karıştırmak ve alanı metrekare yerine metre diye yazmak da yapılan hatalar arasında; alan her zaman birimin karesiyle yazılır. Eşkenar dörtgende de kenar uzunluğunu girme, araç bu şekil için köşegenleri ister.

Sıkça sorulan sorular

Düzensiz şeklin alanı nasıl bulunur?

Düzensiz bir şekli üçgen, dikdörtgen gibi daha basit parçalara bölüp her parçanın alanını ayrı hesaplar, sonra toplarsın. Hesaplayıcıyı her parça için ayrı ayrı kullanmak bu işi kısaltır.

Daire alanında π kaç alınmalıdır?

Araç, bilgisayarın kullandığı tam duyarlıklı π değerini kullanır. Elle hesaplarken 3,14 ya da 3,1416 yeterli olur, ama yuvarlama yüzünden sonuç biraz farklı çıkabilir. Yarıçapı 5 cm olan dairede π = 3,14 ile 78,50 cm², tam π ile 78,54 cm² çıkar.

Metrekareyi santimetrekareye nasıl çeviririm?

Metrekare değerini 10.000 ile çarp. 2,5 m², 25.000 cm² eder. Ters yönde santimetrekare değerini 10.000'e bölersin.

Alan sonucu neden ölçü biriminin karesidir?

Alan iki uzunluğun çarpımıdır; metre çarpı metre metrekare verir. Bu yüzden ölçüleri hangi birimle girdiysen sonucu o birimin karesi cinsinden okumalısın.

Alan hesabının kullanım alanları

Alan hesabı matematik dersinin dışında, gündelik işlerde de sık sık karşına çıkar. Odaya parke ya da halı almak, duvar için boya hesaplamak, bahçeye çim ekmek, arsaları karşılaştırmak ya da bir tabaka kumaştan kaç parça çıkacağını planlamak alan hesabına dayanır. Boya hesabında tavan ve duvar alanlarını ayrı ayrı bulup kapı ve pencere alanlarını düşersen doğru miktara ulaşırsın. Karo döşemede zemin alanını bir karonun alanına bölerek gereken adedi bulursun; kırpma ve fire için sonuca genellikle yüzde 5-10 eklenir. Alanı çıplak bir sayı olarak değil, birimiyle birlikte düşünürsen hataların çoğundan kurtulursun.

Ölçü büyüdükçe alan nasıl değişir?

Alan uzunluğun karesiyle orantılıdır, bu yüzden kenar uzunluğunu iki katına çıkarmak alanı dört katına çıkarır. Kenarı 3 m olan karenin alanı 9 m², kenarı 6 m olan karenin alanı 36 m² eder. Aynı kural daire için de geçerli: yarıçap iki katına çıkarsa π × r² dört katına çıkar. Malzeme planlarken bunu bilmek işe yarar. "Boyutları iki katına çıkarırsam malzeme de iki katı yeter" diye düşünmek yanlış olur; iki boyutlu yüzeylerde ihtiyaç dört katına çıkar. Kare, eşkenar dörtgen ve dairenin alanlarını kıyaslamak için aracı aynı ölçüyle farklı şekillerde deneyebilirsin.

İlgili hesaplayıcılar

Sonucu doğrudan metrekare, dönüm veya hektar olarak görmek için metrekare hesaplama aracını, şeklin sınır uzunluğu için çevre hesaplama, üç boyutlu cisimler için hacim hesaplama aracını kullanabilirsin. Ölçüleri başka birime çevirmek için birim çevirici, bir arsada ne kadar yapı yapılabileceğini görmek için inşaat alanı aracı işine yarar.

Alan hesaplama aracını nasıl kullanırım?

Önce şekli seç, sonra seçtiğin şekle göre a, b ve c alanlarını doldur. Kare için yalnızca a, dikdörtgen için a ve b, üçgen için a taban ve b yükseklik, daire için a yarıçap, yamuk için a ve b paralel kenarlar ile c yükseklik, paralelkenar için a taban ve b yükseklik, eşkenar dörtgen için a ile b köşegenler, elips için a ile b yarı eksenler gerekir. Seçilen şeklin kullanmadığı ölçüler yok sayılır. Sonucun yanında kullanılan formül de görünür; hesabı elle kontrol etmek istersen bu formülü kullanabilirsin.

Hesaplanan alan ile gerçek yüzey arasındaki fark

Sonuçlar ideal geometrik şekiller için matematiksel olarak hesaplanır; π içeren hesaplarda yaklaşık değer verilir. Gerçek arazi ve yüzeyler tam düzgün olmayabilir; ölçüm payı, eğim ve kenar sapmaları gerçek alanı etkileyebilir. Tapu, metraj ya da malzeme siparişi gibi para harcanan işlerde sonucu biraz pay bırakarak yorumla.