Permütasyon Hesaplama

Permütasyon nedir?

Permütasyon, n farklı elemandan r tanesini sıra önemli olacak şekilde seçip dizmenin kaç farklı yolu olduğunu sayar. "Sıra önemli" demek, aynı elemanların farklı düzenle dizilmesinin ayrı bir sonuç sayılması demek. Bir yarışta ilk üç sıraya giren sporcuları belirlemek, bir PIN kodundaki rakamların dizilişi ya da bir ekibe sırayla görev atamak permütasyon örnekleridir. Sonuç P(n, r) biçiminde yazılır ve "n'nin r'li permütasyonu" diye okunur. Bazı kaynaklar aynı değeri nPr ya da ₙPᵣ gösterimiyle yazar.

Gündelik hayatta permütasyonun en yakın örnekleri şifre ve sıralama problemleri. 8 kişilik bir finalde madalya alan ilk üç kişinin kaç farklı biçimde belirlenebileceği, 10 kitabın rafta kaç farklı sırayla dizilebileceği ya da 5 şehrin kaç farklı rotayla gezilebileceği hep birer permütasyon sorusudur. Aşağıda formülü, hesabın mantığını, örnekleri, kombinasyonla farkını ve sık yapılan hataları bulacaksın.

Permütasyon formülü

P(n, r) = n! ÷ (n − r)!
        = n × (n − 1) × … × (n − r + 1)
0 ≤ r ≤ n olmalıdır

Formülün mantığı çarpma kuralına dayanır. İlk sıraya n elemandan biri gelebilir, yani n yol var. İlk eleman seçildikten sonra ikinci sıra için n − 1 eleman kalır, üçüncü sıra için n − 2 ve böyle devam eder. r sıra dolana kadar bu sayıları çarparsın. Son çarpan n − r + 1 olur. Çarpımın faktöriyel cinsinden yazılışı n! ÷ (n − r)! ifadesidir, çünkü n!'in son n − r çarpanı (n − r)! olarak paydaya gelip sadeleşir. Hesaplayıcı bu sade çarpımı BigInt ile, yani yuvarlama yapmadan tam sayı olarak uygular.

Özel durumlar

P(n, 0) = 1
P(n, 1) = n
P(n, n) = n!
P(n, n − 1) = n!

r = 0 olduğunda hiç eleman dizilmediği için tek bir sonuç var: boş dizi. r = 1 olduğunda her eleman tek başına bir sonuçtur. r = n olduğunda tüm elemanların tam sıralaması istenir ve sonuç n!'e eşit olur. Son satırda ilginç bir denklik var: n − 1 elemanı dizdiğinde son eleman zorunlu olarak belli olduğundan P(n, n − 1) de n! değerini verir. Örneğin 5 elemandan 4'ünü sıralı seçmek de, 5'inin hepsini sıralamak da 120 yol verir.

Adım adım permütasyon örnekleri

Örnek 1: Yarışta ilk iki

P(5, 2) = 5! ÷ 3!
        = 120 ÷ 6
        = 20   (kısa yol: 5 × 4)

5 kişilik bir yarışta birinciyi ve ikinciyi seçmenin 20 farklı yolu var. A'nın birinci, B'nin ikinci olması ile B'nin birinci, A'nın ikinci olması iki ayrı sonuçtur. Bu yüzden aynı iki kişi iki ayrı sonuç üretir ve permütasyon, kombinasyonun (10) iki katı çıkar.

Örnek 2: Madalya sıralaması

8 sporcunun yarıştığı bir finalde altın, gümüş ve bronz madalyalar P(8, 3) = 8 × 7 × 6 = 336 farklı biçimde dağılabilir. Her madalya ayrı bir sıra olduğu için burada sıra önemlidir. Yalnızca "kimler ilk üçe girdi" diye sorulsaydı sıra önemsiz olurdu ve sonuç C(8, 3) = 56 çıkardı.

Örnek 3: Tekrarsız rakamlı PIN

0'dan 9'a kadar 10 rakamdan, hiçbir rakamı tekrar etmeyen 4 haneli bir kod P(10, 4) = 10 × 9 × 8 × 7 = 5040 farklı biçimde oluşturulabilir. Rakamların tekrar edebildiği gerçek PIN kodlarında ise her hane için 10 seçenek vardır ve toplam 10⁴ = 10.000 olur. Bu araç tekrarsız dizilişleri sayar; tekrarlı durumlar için üs alma kuralı gerekir.

Örnek 4: Kitap rafı

9 farklı kitabı rafa dizmenin yolu P(9, 9) = 9! = 362.880. Yalnızca 3 kitabı seçip raftaki üç boş yere dizmek istersen P(9, 3) = 9 × 8 × 7 = 504 yol bulursun.

Kombinasyonla ilişki

Permütasyon ile kombinasyon arasındaki bağ çok basit. Önce r elemanı sırasız seçersin (kombinasyon), sonra seçtiğin r elemanı kendi aralarında dizersin (r! yol). Dolayısıyla permütasyon, kombinasyonun r! katıdır:

P(n, r) = C(n, r) × r!
C(n, r) = P(n, r) ÷ r!
Örnek: P(10, 3) = 120 × 6 = 720

Hangi aracı kullanacağına karar vermek için tek bir soru yeter: elemanların sırası sonucu değiştiriyor mu? Değiştiriyorsa permütasyon, değiştirmiyorsa kombinasyon hesaplayıcısı gerekir. Tüm elemanların tam sıralaması için faktöriyel hesaplayıcısı yeterli.

Permütasyon çeşitleri

Okul kitaplarında permütasyonun birkaç türü anlatılır. Bu araç yalnızca temel türü, yani tekrarsız ve ayrık elemanlı sıralı seçimi hesaplar. Diğer türlerin formüllerini bilirsen hangi durumda aracı kullanamayacağını fark edersin.

Tekrarsız (bu araç)      P(n, r) = n! ÷ (n − r)!
Tekrarlı seçim          nʳ
Özdeş elemanlı dizilim  n! ÷ (n₁! × n₂! × …)
Dairesel dizilim        (n − 1)!

Örneğin MATEMATIK gibi harfleri tekrar eden bir kelimenin harflerini dizerken, özdeş harfler yüzünden aynı görünen dizilişleri yeniden saymamak için bölme yapılır. Yuvarlak masadaki oturma düzenlerinde ise dönmeyle elde edilen dizilişler aynı kabul edildiğinden n yerine (n − 1)! sayılır: 5 kişinin yuvarlak masada oturma düzeni 4! = 24'tür. Bu özel durumlarda sonucu elle ya da faktöriyel aracıyla türetebilirsin.

Permütasyon nasıl hesaplanır? Adım adım

1. Toplam farklı eleman sayısını (n) ve dizilecek eleman sayısını (r) belirle; r, n'den büyük olamaz.
2. İlk sıra için n, ikinci sıra için n − 1, üçüncü sıra için n − 2 seçenek olduğunu yaz.
3. r tane çarpanı çarp; son çarpan n − r + 1'dir.
4. İstersen sonucu n! ÷ (n − r)! formülüyle doğrula.

P(7, 3): 7 × 6 × 5 = 210
Doğrulama: 7! ÷ 4! = 5040 ÷ 24 = 210

Tekrarlı (özdeş elemanlı) permütasyon

Elemanların bir kısmı özdeşse aynı görünen dizilişler yeniden sayılmamalı; toplam n! değeri her özdeş grubun faktöriyeline bölünür. ANKARA kelimesinde 6 harf var ve 3 tanesi A olduğundan farklı dizilişler 6! ÷ 3! = 720 ÷ 6 = 120 olur. MATEMATIK kelimesinde 9 harf içinde M, A ve T ikişer kez geçer: 9! ÷ (2! × 2! × 2!) = 362.880 ÷ 8 = 45.360. Bu araç ayrık elemanlar için; özdeş elemanlı durumlarda sonucu yukarıdaki formülle ve faktöriyel aracıyla bulabilirsin.

Tekrarlı seçimde üs kuralı

Her sıra için aynı elemanı yeniden seçebiliyorsan sonuç nʳ olur: 10 rakamlı 4 haneli PIN için 10⁴ = 10.000. Büyük kuvvetleri üslü sayı aracıyla hesaplayabilirsin.

Permütasyon hesabında sık yapılan hatalar

En sık hata, sıra önemsizken permütasyon kullanmak; bu durumda sonuç gerçeğin r! katı kadar şişer. r değerini n'den büyük girmek de yaygın bir hata. Elindeki elemanlardan fazlasını dizemeyeceğin için bu durum tanımsızdır ve araç hata verir. Tekrarlı seçimde bu formülü kullanmak da yanlış sonuç verir: aynı eleman yeniden seçilebiliyorsa sonuç nʳ olur. Bazen çarpım yanlış yönde başlatılır; oysa çarpanlar n'den başlayıp her adımda bir azalır ve r tane çarpan vardır. Son olarak, farklı olmayan elemanları ayrık saymak da hatadır; özdeş elemanlar varsa sonuç bölme gerektirir.

Sıkça sorulan sorular

P(n, r) ile nPr aynı şey midir?

Evet. Farklı ders kitaplarında ve hesap makinelerinde aynı değer P(n, r), nPr ya da ₙPᵣ gösterimleriyle yazılır. Hepsi n elemandan r tanesinin sıralı seçimini ifade eder.

r = 0 olursa sonuç neden 1 çıkar?

Hiç eleman seçmemenin ve dizmemenin tek bir yolu var: boş seçim. Formülde de P(n, 0) = n! ÷ n! = 1 olur.

Sonuç çok büyük çıkarsa güvenilir mi?

Evet. Hesaplayıcı BigInt ile tam sayı aritmetiği kullandığından büyük sonuçlar yuvarlanmaz. P(52, 5) = 311.875.200 gibi milyonlarca ya da P(100, 50) gibi yüzlerce basamaklı sayılar rakam rakam doğru çıkar. Sonucun altında basamak sayısı da gösterilir.

Permütasyon ile olasılık nasıl hesaplanır?

Tüm sıralı sonuçlar eşit olasılıklıysa belirli bir sıralamanın gelme olasılığı 1 bölü P(n, r) olur. 8 kişilik bir finalde tahmin ettiğin altın, gümüş ve bronz dağılımının tutma olasılığı, yarışmacıların eşit güçte olduğu varsayımıyla 1 bölü 336'dır. Gerçek yarışlarda sporcuların gücü eşit olmadığından bu yalnızca teorik bir değer.

Permütasyon mu kombinasyon mu kullanmalıyım?

Seçilen elemanların sırası sonucu değiştiriyorsa permütasyon, değiştirmiyorsa kombinasyon kullan. Aralarındaki ilişki P(n, r) = C(n, r) × r! şeklindedir.

MATEMATIK kelimesinin harfleri kaç farklı biçimde dizilir?

9 harf içinde M, A ve T ikişer kez geçtiği için 9! ÷ (2! × 2! × 2!) = 45.360 farklı dizilim vardır. Bu tekrarlı permütasyondur ve bu araç doğrudan hesaplamaz.

Permütasyon aracını nasıl kullanırım?

"Eleman sayısı (n)" alanına elindeki toplam farklı eleman sayısını, "Seçim sayısı (r)" alanına dizeceğin eleman sayısını gir. İkisi de 0 ile 1000 arasında tam sayı olmalı ve r, n'den büyük olmamalı. Sonuçta P(n, r) tam sayı olarak, altında da basamak sayısıyla görünür. Varsayılan n = 5, r = 2 girdisi 20 sonucunu verir. Sıra önemli değilse kombinasyon aracına geç.

Permütasyon sonucunun geçerli olduğu koşullar

Elemanlar birbirinden farklıysa ve her sıralama ayrı bir sonuç sayılıyorsa permütasyon hesabı matematiksel olarak kesin sonuç verir. Gerçek problemlerde elemanların özdeş olup olmadığını, tekrarın serbest olup olmadığını ve sıranın gerçekten önemli olup olmadığını önce kontrol et. Varsayım yanlışsa doğru formül de yanlış cevap üretir.