- Kalan sorusunda büyük sayıyı hiç hesaplama: her ara adımda kalana geç, toplamı ve çarpımı kalanlar üzerinden kur.
- Bölünebilme kurallarının hepsi bir mod gerçeğine dayanır: 10 ≡ 1 (mod 9) rakam toplamını, 10 ≡ −1 (mod 11) sırayla eksi artı toplamı verir.
- Birler basamağı ve son iki basamak soruları mod 10 ve mod 100 döngüleriyle çözülür; döngü uzunluğunu bulup üssü ona göre küçültürsün.
- Asal modülde Fermat'nın küçük teoremi üssü p − 1'e göre küçültür; üssü modülün kendisine göre küçültmek en sık yapılan hatadır.
Bir kalan sorusunu çözerken asıl iş, sayıyı büyütmeden kalanını bulmaktır. 7^2027 sayısının son iki basamağını, 123456789'un 7 ile bölümünden kalanı ya da 2, 3, 4, 5 ve 6 ile bölününce hep 1 artan, 7'ye ise tam bölünen sayıyı elle bulabilirsin; hepsinin yolu mod mantığından geçer. Bu yazı sınavlarda ve ödevlerde karşına çıkan kalan problemlerini türlerine ayırıp her birinin kısa yolunu gösteriyor. Sonucu kontrol etmek için aşağıdaki hesaplayıcıyı kullanabilirsin.
Tanımın kendisi (a mod n'nin ne olduğu, toplama, çarpma, üs ve ters işlemlerinin kuralları) modüler aritmetik hesaplayıcısının sayfasında anlatılıyor. Burada o kurallar hazır kabul edilip soru çözmeye geçiliyor.
Kalan sorularında sayıyı küçültme alışkanlığı
Kalan problemlerinin neredeyse hepsi tek bir alışkanlıkla kolaylaşır: elindeki sayıyı mümkün olan ilk anda kalanıyla değiştir. 47 × 58 çarpımının 9 ile bölümünden kalanı soruluyorsa 2726'yı bulmana gerek yok. 47'nin 9'a bölümünden kalan 2, 58'inki 4'tür; 2 × 4 = 8 olduğu için cevap 8'dir.
Aynı yol toplamda da geçerli. 47 + 58 toplamının 6 ile bölümünden kalanı arıyorsan 47 yerine 5, 58 yerine 4 yaz: 5 + 4 = 9, 9'un 6'ya bölümünden kalan 3. Toplam 105'tir ve 105 = 17 × 6 + 3, sonuç tutuyor.
Bu alışkanlığın sınavda iki faydası var. Hesap hatası yapma ihtimalin azalır, çünkü küçük sayılarla çalışırsın. Bir de ara sonuç modülden büyük çıktığında yeniden indirgemeyi unutmazsın: 5 + 4 = 9 bulduktan sonra 9'u 3'e çevirmeden bırakmak, cevabı yanlış şıkka götürür.
Negatif ara sonuç çıkarsa modülü ekle. −17'nin 5 ile bölümünden kalan sorulduğunda −17 + 20 = 3 yazarsın; kalan 3'tür, çünkü −17 = (−4) × 5 + 3.
Bölünebilme kuralları birer mod kuralıdır
Okulda ezberlenen bölünebilme kuralları, 10'un çeşitli modlardaki kalanından çıkar. Kuralın nereden geldiğini bilirsen hem unutmazsın hem de kuralı "bölünüyor mu" sorusunun ötesine taşıyıp "kalan kaç" sorusunda da kullanırsın.
| Bölen | Mod gerçeği | Kullanılan kural |
|---|---|---|
| 2, 5, 10 | 10 ≡ 0 | Yalnız birler basamağına bak |
| 4, 25 | 100 ≡ 0 | Son iki basamağa bak |
| 8 | 1000 ≡ 0 | Son üç basamağa bak |
| 3, 9 | 10 ≡ 1 | Rakamları topla |
| 11 | 10 ≡ −1 | Sağdan başlayıp rakamları sırayla artı, eksi topla |
| 7, 11, 13 | 1000 ≡ −1 | Sağdan üçerli gruplara ayır, grupları sırayla artı, eksi topla |
Kalan sorusunda bu kurallar doğrudan cevap verir. 4728'in 4 ile bölümünden kalan, 28'in 4 ile bölümünden kalanla aynıdır ve 0'dır. 13104 sayısının 8'e bölümünde son üç basamak 104'e bakarsın; 104 = 13 × 8, kalan 0.
11 kuralında sırayı sağdan başlat. 918082'de rakamlar sağdan 2, 8, 0, 8, 1, 9'dur: 2 − 8 + 0 − 8 + 1 − 9 = −22. −22, 11'in katı olduğu için 918082 de 11'e tam bölünür.
7 için ezberlenmiş kısa bir kural yoktur ama 1001 = 7 × 11 × 13 eşitliği işini görür. 1000 sayısı 1001'den bir eksik olduğundan 7, 11 ve 13 modunda −1'e denktir. 123456789 sayısını sağdan üçerli gruplara ayır: 789, 456, 123. Sırayla artı, eksi topla: 789 − 456 + 123 = 456. 456'nın 7 ile bölümünden kalan 1'dir (456 = 65 × 7 + 1), dolayısıyla 123456789'un 7 ile bölümünden kalan da 1'dir. Aynı 456 sayısı 11 ve 13 için de kullanılabilir.
Bölünebilmeyle iç içe olan ortak bölen ve ortak kat sorularında EBOB-EKOK hesaplayıcısı, bir sayının asal çarpanlarını görmek için asal çarpan aracı işine yarar.
Birler basamağı ve son iki basamak soruları
"2^2026 sayısının birler basamağı kaçtır?" sorusu, 2^2026'nın 10 ile bölümünden kalanı sorar. Kuvvetlerin son basamağı kısa bir döngüyle tekrar eder; döngüyü bulup üssü döngü uzunluğuna göre küçültürsün.
| Taban (son basamak) | Son basamak döngüsü | Döngü uzunluğu |
|---|---|---|
| 0, 1, 5, 6 | Hep kendisi | 1 |
| 4 | 4, 6 | 2 |
| 9 | 9, 1 | 2 |
| 2 | 2, 4, 8, 6 | 4 |
| 3 | 3, 9, 7, 1 | 4 |
| 8 | 8, 4, 2, 6 | 4 |
2^2026'da döngü uzunluğu 4 ve 2026'nın 4 ile bölümünden kalan 2'dir. Döngünün 2. elemanı 4, cevap 4. Aynı yolla 3^2026'nın birler basamağı 9, 8^75'inki 2 çıkar (75'in 4'e bölümünden kalan 3, döngünün 3. elemanı 2).
Kalan 0 çıkarsa döngünün ilk elemanına değil son elemanına bakarsın. 2^2024'ün birler basamağı 6'dır, çünkü 2024 döngü uzunluğunun tam katıdır.
Son iki basamak sorusunda modül 100 olur. Burada da işe yarayan bir kısa yol var: 7^4 = 2401 ve 2401'in 100 ile bölümünden kalan 1. Yani 7'nin kuvvetleri mod 100'de 4 adımda bir başa döner. 7^2027'de 2027'nin 4 ile bölümünden kalan 3'tür, 7^3 = 343 olduğu için son iki basamak 43'tür. Kuvvetlerin kendisini görmek istersen üslü sayı hesaplayıcısı küçük üslerde döngüyü elle kontrol etmene yardım eder.
Fermat'nın küçük teoremi ile büyük üsler
Döngüyü deneyerek bulmak her zaman kolay olmaz. Modül asal bir sayıysa Fermat'nın küçük teoremi döngünün en fazla ne kadar sürebileceğini söyler: p asal ve a, p'ye bölünmüyorsa a^(p−1) ≡ 1 (mod p).
2^50 sayısının 11 ile bölümünden kalanı bulalım. 11 asal, 2 de 11'e bölünmüyor; teoreme göre 2^10 ≡ 1 (mod 11). 50 sayısı 10'un tam katı olduğundan 2^50 = (2^10)^5 ≡ 1. Kalan 1.
Teorem döngünün tam uzunluğunu değil, bir üst sınırını verir. 3^200'ün 13 ile bölümünde Fermat 3^12 ≡ 1 der; 200'ün 12'ye bölümünden kalan 8 olduğu için 3^8'e bakarsın. 3^8 = 6561, bunun 13 ile bölümünden kalan 9'dur. Biraz deneme yapsaydın 3^3 = 27 ≡ 1 (mod 13) olduğunu görecektin. Döngü 3 adımlık, 200'ün 3'e bölümünden kalan 2, 3^2 = 9. İki yol aynı sonuca varıyor; kısa döngüyü fark etmek yalnız hesabı kısaltır.
Modül asal değilse teoremin genellemesi olan Euler teoremi kullanılır: EBOB(a, n) = 1 ise a üssü φ(n), n modunda 1'e denktir. φ(n), 1 ile n arasında n ile aralarında asal olan sayıların sayısıdır. φ(12) = 4 (1, 5, 7, 11), dolayısıyla 5^100'ün 12 ile bölümünden kalan 1'dir, çünkü 100 sayısı 4'ün katıdır.
Kalanı bilinen sayıyı bulmak
Bazı sorular tersinden sorulur: kalanlar verilir, sayı istenir. "3 ile bölününce 2, 5 ile bölününce 3 kalan en küçük doğal sayı kaçtır?" sorusunda adayları sırayla yazman yeter. 5 ile bölününce 3 kalan sayılar 3, 8, 13, 18, 23, ...; bunlardan 3 ile bölününce 2 kalan ilk sayı 8'dir. Sonraki çözüm 8 + 15 = 23'tür, çünkü 3 ve 5'in ortak katı olan 15 eklemek iki kalanı da bozmaz.
Bu tür problemin genel çözümü Çin kalan teoremi adıyla bilinir: modüller ikişer ikişer aralarında asalsa, verilen kalanların hepsini sağlayan sayı, modüllerin çarpımına göre tek bir kalan sınıfıdır.
Sınavlarda sevilen bir başka kalıp şu: "Bir sepetteki yumurtalar 2, 3, 4, 5 ve 6'şar sayıldığında hep 1 yumurta artıyor, 7'şer sayıldığında hiç artmıyor. Sepette en az kaç yumurta vardır?" İlk beş koşul, sayının bir eksiğinin 2, 3, 4, 5 ve 6'nın ortak katı olduğunu söyler. EKOK 60, sayı da 60k + 1 biçiminde. Şimdi 7 koşuluna bak: 60'ın 7 ile bölümünden kalan 4, yani 4k + 1 ≡ 0 (mod 7) olmalı. 4k ≡ 6 (mod 7) denkleminde 4'ün mod 7'deki tersi 2'dir (4 × 2 = 8 ≡ 1), k ≡ 12 ≡ 5. Sayı 60 × 5 + 1 = 301. Kontrol: 301 = 43 × 7. Bir sonraki çözüm 301 + 420 = 721 olur.
Takvim sorularında yıl ve artık yıl kayması
Haftanın günü soruları mod 7 sorusudur. Gün sayısı verilen basit soruların yanında, yıl atlayan sorular da çıkar: "23 Ekim 2026 cuma günüdür. 23 Ekim 2027 hangi gündür?"
Normal bir yılda 365 gün vardır ve 365 = 52 × 7 + 1. Aynı tarih bir sonraki yıl haftada 1 gün ileri kayar. Araya 29 Şubat giriyorsa 366 gün geçer, 366'nın 7 ile bölümünden kalan 2'dir ve tarih 2 gün kayar. Bu yüzden önce aradaki dönemde 29 Şubat olup olmadığına bakarsın. Ekim 2026 ile Ekim 2027 arasında 29 Şubat yok, 23 Ekim 2027 cumartesiye denk gelir. Ekim 2027 ile Ekim 2028 arasında ise 29 Şubat 2028 var; o yıl tarih 2 gün kayar ve pazartesiye düşer.
Miladi takvimde artık yıl kuralı da bir bölünebilme kuralıdır: 4'e bölünen yıl artıktır; 100'e bölünüyorsa artık değildir, ancak 400'e de bölünüyorsa yine artıktır. 2000 artık yıldı, 2100 olmayacak.
Birkaç yıllık kaymayı hesaplarken her yılı ayrı ayrı topla, sonra 7'ye göre indir. Tarihi kendin saymak yerine sonucu doğrulamak istersen hangi gün hesaplayıcısı bir tarihin haftanın hangi gününe denk geldiğini gösterir; iki tarih arasındaki gün sayısı için gün sayısı aracı var.
Kalan problemlerinde sık yapılan hatalar
Üssü modüle göre küçültmek en yaygın hatadır. 2^10'un 7 ile bölümünden kalanı bulurken üs 10'u 7'ye göre indirip 2^3'e bakarsan 1 bulursun; doğru cevap 2'dir. Üs, modüle göre değil döngü uzunluğuna göre (asal modülde p − 1'e göre) küçültülür. 2'nin mod 7'deki döngüsü 3 adımlıktır ve 10'un 3'e bölümünden kalan 1 olduğu için cevap 2^1 = 2.
İki tarafı aynı sayıya bölmek de hata doğurur. 6 ve 16'nın 10 ile bölümünden kalanlar eşittir (ikisi de 6), ama ikisini 2'ye bölünce çıkan 3 ve 8 mod 10'da eşit değildir. Bölme ancak bölen sayı modülle aralarında asalsa güvenlidir; değilse modülü de bölmen gerekir: 3 ve 8 mod 5'te eşittir.
Döngüde kalanın 0 çıktığı durumda ilk elemana bakmak, birler basamağı sorularında sık rastlanan bir başka yanlıştır. Kalan 0 ise döngünün son elemanını al.
Son olarak cevabın aralığını kontrol et. Kalan her zaman 0 ile bölenin bir eksiği arasındadır. 7 ile bölümden kalanı 8 bulduysan bir indirgeme adımını atlamışsındır.
Elle çözdüğün her kalan sorusunu bölme eşitliğiyle denetleyebilirsin: sayı = bölüm × bölen + kalan. Büyük üslerde bu mümkün değilse aynı işlemi hesaplayıcıda modüler üs alma seçeneğiyle tekrar et.
