Hacim Hesaplama

Hacim nedir?

Hacim, üç boyutlu bir cismin uzayda kapladığı yerin ölçüsüdür. Alan düz bir şeklin yüzünü ölçer; hacim ise bir cismin içini ne kadar madde ya da sıvıyla doldurabileceğini söyler. Bir su deposunun kaç litre aldığı, bir koliye kaç kutu sığacağı, bir havuzu doldurmak için ne kadar su gerektiği ya da bir inşaat temeline ne kadar beton döküleceği hep hacim sorusudur. Ölçülerin santimetre ise sonuç santimetreküp (cm³), metre ise metreküp (m³) çıkar. Birimdeki 3 üssü, hacmin üç boyutlu bir büyüklük olduğunu gösterir: uzunluk, genişlik ve yükseklik gibi üç ayrı ölçü birbiriyle çarpılır.

Hacim hesabında asıl iş, doğru formülü doğru cisme uygulamaktır. Hesaplayıcı altı temel cismi destekler: küp, dikdörtgenler prizması, silindir, küre, koni ve kare piramit. Gündelik hayatta karşılaştığın nesnelerin çoğu bu cisimlerden biriyle ya da birkaçının birleşimiyle modellenebilir. Kutu bir prizmadır, konserve bir silindirdir, top bir küredir, huni ya da külah bir konidir; çadır ya da çatı da bazen piramide benzer.

Cisme göre hacim formülleri

Aşağıdaki formüller hesaplayıcının kullandığı formüllerin aynısıdır. Burada a, b ve c girdiğin ölçüleri, r yarıçapı, h yüksekliği, π ise yaklaşık 3,14159 olan sabiti gösterir.

Küp                      V = a³
Dikdörtgenler prizması   V = a × b × h
Silindir                 V = π × r² × h
Küre                     V = (4 ÷ 3) × π × r³
Koni                     V = (π × r² × h) ÷ 3
Kare piramit             V = (taban kenarı² × h) ÷ 3

Formüllerin ortak bir mantığı var. Prizma ve silindir gibi her kesiti aynı şekilde olan cisimlerde hacim, taban alanıyla yüksekliğin çarpımıdır. Prizmada taban alanı a × b, silindirde π × r² olur. Koni ve piramit gibi sivrilen cisimlerin hacmi ise aynı taban ve aynı yükseklikteki prizma ya da silindirin tam üçte biridir. İkisinin formülünün sonunda ÷ 3 görmenin sebebi bu.

Küp ve dikdörtgenler prizması

Küpün bütün ayrıtları eşit olduğu için hacim tek bir ölçüden bulunur: kenarı 3 cm olan küpün hacmi 3 × 3 × 3 = 27 cm³ olur. Dikdörtgenler prizmasında üç ayrıt birbirinden farklı olabilir; 3, 4 ve 5 cm ayrıtlı bir kutunun hacmi 3 × 4 × 5 = 60 cm³ eder. Hesaplayıcıda prizma için üç ölçüyü de girmen gerekir, küp için yalnızca ilkini.

Silindir

Silindirde en sık karışıklık, yarıçap yerine çap girmek. Yarıçap, dairenin merkezinden kenarına olan uzaklıktır ve çapın yarısıdır. Yarıçapı 3 cm, yüksekliği 10 cm olan silindirin hacmi π × 3² × 10 = 90π, yani yaklaşık 282,74 cm³ olur. Aynı silindirde çapı yarıçap diye girseydin 6 cm kullanmış olurdun ve sonuç dört kat büyük çıkardı, çünkü yarıçap formülde karesiyle yer alır.

Küre

Küre hacmi yarıçapın küpüyle orantılıdır. Yarıçapı 3 cm olan kürenin hacmi (4 ÷ 3) × π × 27 = 36π, yani yaklaşık 113,10 cm³ olur. Yarıçapı 5 cm olan kürenin hacmi yaklaşık 523,60 cm³ eder. Yarıçap iki katına çıkınca hacim sekiz kat artar: yarıçapı 10 cm olan kürenin hacmi yaklaşık 4188,79 cm³'tür, bu da 5 cm yarıçaplı kürenin 8 katı demektir.

Koni ve kare piramit

Yarıçapı 3 cm, yüksekliği 10 cm olan koninin hacmi (π × 9 × 10) ÷ 3 = 30π, yani yaklaşık 94,25 cm³ olur. Bu değer aynı ölçülerdeki silindirin (282,74 cm³) tam üçte biridir. Kare piramitte taban bir karedir. Taban kenarı 6 cm, yüksekliği 9 cm olan piramidin hacmi (6 × 6 × 9) ÷ 3 = 108 cm³ çıkar. Buradaki yükseklik, tepe noktasından tabana inen dik uzaklıktır. Yan yüzün eğik uzunluğunu yükseklik diye kullanma.

Hacim birimleri ve litreye çevirme

Hacim sonuçlarını doğru yorumlamak için birimler arasındaki ilişkiyi bilmek gerekir. Uzunluk birimleri arasındaki oran hacme küpü alınarak yansır. Bir metre 100 santimetre olduğu için bir metreküp 100 × 100 × 100 = 1.000.000 santimetreküptür. Aynı şekilde bir desimetreküp (dm³), kenarı 10 cm olan bir küptür ve 1000 cm³ eder. Sıvı ölçüsü olan litre de tanım gereği bir desimetreküpe eşittir.

1 dm³ = 1 litre = 1000 cm³
1 m³  = 1000 litre = 1.000.000 cm³
1 litre = 1000 mililitre ve 1 cm³ = 1 mililitre

Bir deponun ya da akvaryumun kaç litre aldığını bulmanın en kolay yolu ölçüleri desimetre olarak girmektir. İç ölçüleri 20 dm, 10 dm ve 5 dm olan bir akvaryumun hacmi 20 × 10 × 5 = 1000 dm³, yani 1000 litredir. Ölçüleri metre olarak girersen sonuç metreküp çıkar, litreye çevirmek için 1000 ile çarparsın: 2 m × 1,5 m × 1 m ölçülerindeki bir deponun hacmi 3 m³, yani 3000 litredir.

Silindir biçimli bir depoya bakalım: yarıçapı 0,5 m, yüksekliği 2 m olan bir tankın hacmi π × 0,5² × 2 = 0,5π ≈ 1,5708 m³, yani yaklaşık 1570,8 litredir. Tank hiçbir zaman ağzına kadar dolmaz; kullanım payı ve içerideki ekipman yüzünden gerçekte kullanabileceğin hacim biraz daha az kalır.

Adım adım örnek hacim hesabı

Bir hesabı baştan sona izlersen aracın sonucuna daha rahat güvenirsin. Yarıçapı 4 cm ve yüksekliği 12 cm olan silindir biçimli bir bardağın hacmini bulalım.

1. Cisim: silindir, r = 4 cm, h = 12 cm
2. Taban alanı: π × 4² = 16π ≈ 50,2655 cm²
3. Hacim: 50,2655 × 12 ≈ 603,19 cm³
4. Litre: 603,19 cm³ ÷ 1000 ≈ 0,603 litre

Bardak yaklaşık 0,6 litre alır. Aynı ölçülerdeki bir koni (örneğin bir külah) ise 603,19 ÷ 3 ≈ 201,06 cm³ alır. Formüllerdeki üçte bir oranının pratikte ne demek olduğunu bu karşılaştırmada görebilirsin.

Hacim hesabında sık yapılan hatalar

En sık hata, ölçüleri farklı birimlerle girmek. Bir ayrıtı santimetre, diğerini metre girersen sonuç anlamsız olur; hesaplamadan önce bütün ölçüleri aynı birime getir. Çapla yarıçapı karıştırmak da çok yaygın: silindir, küre ve koni için araç yarıçap ister. Koni ve piramitte eğik yüz uzunluğunu yükseklik yerine girmek de sonucu bozar; formüldeki h her zaman tabana dik inen yüksekliktir. Hacmi alanla karıştırmak başka bir hata: sonucun birimi cm² çıktıysa yanlış formül kullanmışsındır, çünkü hacim her zaman küp birimle yazılır. Son olarak litre dönüşümünde 1000 yerine 100 ile çarpmak ya da bölmek sık görülür. Metreküp ile litre arasındaki oran 1000, metreküp ile santimetreküp arasındaki oran 1.000.000'dur.

Sıkça sorulan sorular

Hacim ile kapasite aynı şey midir?

Günlük dilde birbirine yakın anlamlarda kullanılır. Hacim, cismin kapladığı yerdir. Kapasite ise bir kabın içine alabileceği sıvı ya da madde miktarıdır ve genellikle iç ölçülerden hesaplanan hacme denk gelir. Bu yüzden bir kabın kapasitesini bulurken dış ölçüleri değil, cidar kalınlığı düşüldükten sonraki iç ölçüleri kullanmalısın.

Santimetreküp kaç mililitredir?

1 cm³ tam olarak 1 mililitredir. 1000 cm³ de 1 litre eder. Bu eşitlik tanımdan gelir; ilaç dozundan otomobillerdeki motor hacmine kadar pek çok yerde karşına çıkar.

Yarıçapı iki katına çıkarırsam hacim ne kadar artar?

Silindirde ve konide hacim yarıçapın karesiyle, kürede küpüyle orantılıdır. Yarıçap iki katına çıkınca silindir ve koni hacmi dört, küre hacmi sekiz katına çıkar. Bu orantı yüksekliğin sabit kaldığı durumda geçerlidir; yükseklik de değişirse onun etkisini ayrıca çarpman gerekir.

Düzensiz cisimlerin hacmi nasıl bulunur?

Bu araç düzgün geometrik cisimler için. Düzensiz bir cismin hacmini bulmak için onu daha basit parçalara bölüp parçaların hacimlerini toplayabilir ya da cismi su dolu bir kaba batırıp taşan suyun hacmini ölçebilirsin.

Hacim için ek örnekler

Dikdörtgenler prizması 4 × 3 × 2,5 m: V = 30 m³ = 30.000 litre
Silindir r = 0,5 m, h = 1,2 m: V = π × 0,25 × 1,2 ≈ 0,9425 m³ ≈ 942 litre
Küre r = 3 cm: V = (4/3) × π × 27 = 36π ≈ 113,10 cm³
Koni r = 3 cm, h = 4 cm: V = π × 9 × 4 / 3 = 12π ≈ 37,70 cm³
Kare piramit a = 6 cm, h = 5 cm: V = 36 × 5 / 3 = 60 cm³

Depo ve su tankı gibi işlerde metreküp sonucunu 1000 ile çarparak litreye çevirirsin. Koni ve piramidin hacmi, aynı taban ve yükseklikteki silindir ve prizmanın hacminin üçte biridir; formüllerdeki ÷ 3 bu yüzden var.

İlgili hesaplayıcılar

Taban ya da yüzey alanı için alan hesaplama ve metrekare hesaplama araçlarını, kenar uzunluğu için çevre hesaplama aracını kullanabilirsin. Koli ölçülerinden kargo hacmini ve ücrete esas desiyi görmek için desi hesaplama, litre ve metreküp gibi birimleri çevirmek için birim çevirici sayfasına bak.

Hacim hesaplama aracını nasıl kullanırım?

Önce açılır listeden cismi seç. Sonra ölçü a, b ve c alanlarına o cismin değerlerini gir: küp için yalnızca a kenarı, silindir ve koni için a yarıçapı ile b yüksekliği, küre için yalnızca a yarıçapı, kare piramit için a taban kenarı ile b yüksekliği, prizma için de üç ayrıt gerekir. Seçtiğin cismin kullanmadığı ölçüler sonucu etkilemez, o alanlarda eski bir değer kalsa bile sorun olmaz. Sonuç girdiğin birimin küpüyle gösterilir ve kullanılan formül de yanında yazılır; böylece hesabı elle de doğrulayabilirsin.

Hesaplanan hacim ile gerçek cisim arasındaki fark

Bu sayfadaki sonuçlar ideal geometrik cisimler için matematiksel olarak hesaplanır. π sabiti yuvarlandığı için sonuçlar belli bir basamağa kadar yaklaşık gösterilir. Gerçek nesnelerin ölçüleri tam düzgün olmayabilir; ölçüm hataları, cidar kalınlığı ve şekil sapmaları gerçek hacmi etkileyebilir. Satın alma, dolum ya da inşaat gibi maliyeti olan işlerde sonucu bir pay bırakarak yorumla.