- Üçgen aracı bildiğin üç elemandan (en az biri kenar) eksik kenar ve açıları, alanı, çevreyi, yükseklikleri ve çember yarıçaplarını bulur.
- Üç kenar biliniyorsa alan Heron formülüyle bulunur: u yarı çevre olmak üzere Alan = √(u(u − a)(u − b)(u − c)).
- Her kenar diğer ikisinin toplamından küçük, farkından büyük olmalıdır; 1, 2 ve 5 uzunluklarıyla üçgen kurulamaz.
- Üç açı tek başına yetmez, büyüklük için en az bir kenar gerekir; elle hesapta hesap makinesini derece modunda kullan.
Üçgen hesaplama aracı ne yapar?
Bir üçgenin hangi elemanlarını bildiğini seçip değerleri yazdığında araç eksik kenarları ve açıları bulur; alanı, çevreyi, üç yüksekliği, iç teğet ve çevrel çember yarıçaplarını hesaplar ve üçgenin türünü söyler. Verdiğin değerlerle üçgen çizilemiyorsa (kenarlar üçgen eşitsizliğini sağlamıyorsa ya da açıların toplamı 180°'yi aşıyorsa) nedenini açıklar ve sonuç vermez.
Araçta ders kitaplarındaki gösterim kullanılır: a kenarı A açısının, b kenarı B açısının, c kenarı C açısının karşısındadır. Dik üçgen seçeneklerinde dik açı C'dedir; a ve b dik kenarlar, c hipotenüstür. Açılar derece cinsindendir.
Hangi bilgilerle üçgen çözülür?
Bir üçgen üç elemanı (en az biri kenar olmak üzere) bilinince belirlenir. Hangi teoremin kullanılacağı, bilinen elemanların sırasına bağlıdır:
| Bilinenler | Kısaltma | Kullanılan kural |
|---|---|---|
| Üç kenar | KKK | Kosinüs teoremiyle açılar |
| İki kenar ve aradaki açı | KAK | Kosinüs teoremiyle üçüncü kenar |
| İki açı ve aradaki kenar | AKA | Açılar toplamı ve sinüs teoremi |
| İki açı ve birinin karşısındaki kenar | AAK | Açılar toplamı ve sinüs teoremi |
| İki dik kenar | Dik üçgen | Pisagor teoremi |
| Bir dik kenar ve hipotenüs | Dik üçgen | Pisagor teoremi |
Üç açı tek başına yetmez; açıları 60°, 60°, 60° olan sonsuz sayıda farklı büyüklükte eşkenar üçgen vardır. İki kenar ve bunlardan birinin karşısındaki açı (KKA) verildiğinde ise koşullara göre sıfır, bir ya da iki farklı üçgen çıkabilir. Bu belirsizlik yüzünden araç KKA durumunu çözmez; böyle bir soruda önce sinüs teoremiyle ikinci açının olası değerlerini bulman gerekir.
Kullanılan teoremler
Kosinüs teoremi: a² = b² + c² − 2bc × cos A
Sinüs teoremi: a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R
Açılar toplamı: A + B + C = 180°
Pisagor: c² = a² + b² (C = 90°)KAK örneği: b = 5, c = 7 ve aradaki açı A = 60° olsun. a² = 25 + 49 − 2 × 5 × 7 × 0,5 = 39 olduğundan a = √39 ≈ 6,245 bulunur. Kalan açılardan B, yine kosinüs teoremiyle yaklaşık 43,8979° çıkar, C de 180° − 60° − B ≈ 76,1021° olur.
AKA örneği: a = 10 ve bu kenarın iki ucundaki açılar B = C = 30° olsun. A = 180° − 30° − 30° = 120° olur. Sinüs teoreminden b = c = 10 × sin 30° ÷ sin 120° ≈ 5,7735 bulunur. İki kenar eşit olduğu için üçgen ikizkenar, bir açısı 90°'den büyük olduğu için geniş açılıdır.
Alan: Heron formülü ve diğer yollar
Üç kenar bilindiğinde alan, yükseklik bulunmadan Heron formülüyle hesaplanır:
u = (a + b + c) / 2 (yarı çevre)
Alan = √(u × (u − a) × (u − b) × (u − c))| Kenarlar | u | Alan |
|---|---|---|
| 3, 4, 5 | 6 | √(6 × 3 × 2 × 1) = 6 |
| 5, 6, 7 | 9 | √(9 × 4 × 3 × 2) = √216 ≈ 14,6969 |
| 2, 2, 2 | 3 | √(3 × 1 × 1 × 1) = √3 ≈ 1,7321 |
| 13, 14, 15 | 21 | √(21 × 8 × 7 × 6) = 84 |
Başka elemanlar biliniyorsa alanın daha kısa yolları var: taban ve yükseklik biliniyorsa Alan = taban × yükseklik ÷ 2; iki kenar ve aradaki açı biliniyorsa Alan = ½ × b × c × sin A. KAK örneğinde ½ × 5 × 7 × sin 60° ≈ 15,1554 bulunur. Araç hangi yoldan gidersen git sonunda üç kenarı bulur ve alanı Heron formülünün sayısal olarak kararlı bir biçimiyle hesaplar; çok ince (bir kenarı diğerlerine göre çok kısa) üçgenlerde bile kök içi negatif çıkmaz.
Yalnız taban ve yükseklikle alan bulmak ya da başka şekillerin alanını hesaplamak için alan aracını, kenar uzunluklarından çevre bulmak için çevre aracını kullanabilirsin.
Yükseklikler ve çemberler
Bir köşeden karşı kenara indirilen dikmenin uzunluğu o kenara ait yüksekliktir. Alan bilindiğinde her yükseklik kolayca bulunur: hₐ = 2 × Alan ÷ a. 3-4-5 üçgeninde h_c = 2 × 6 ÷ 5 = 2,4'tür; dik kenarlar ise birbirinin yüksekliğidir.
İç teğet çember yarıçapı: r = Alan / u
Çevrel çember yarıçapı: R = (a × b × c) / (4 × Alan)3-4-5 üçgeninde r = 6 ÷ 6 = 1 ve R = 60 ÷ 24 = 2,5 olur. Dik üçgende çevrel çemberin yarıçapı her zaman hipotenüsün yarısıdır; hipotenüs çemberin çapıdır.
Üçgen türleri
Araç türü iki açıdan söyler. Kenarlara göre: üç kenarı eşitse eşkenar, iki kenarı eşitse ikizkenar, hepsi farklıysa çeşitkenar. Açılara göre: bir açısı 90° ise dik, bir açısı 90°'den büyükse geniş açılı, hepsi 90°'den küçükse dar açılı. Kenarları bilinen bir üçgenin açı türünü hesap yapmadan da anlayabilirsin: en uzun kenar c olmak üzere c² = a² + b² ise dik, c² > a² + b² ise geniş, c² < a² + b² ise dar açılıdır.
Geçersiz üçgen: üçgen eşitsizliği
Her kenar, diğer iki kenarın toplamından küçük ve farkından büyük olmalıdır. 1, 2 ve 5 uzunluğundaki çubuklarla üçgen kurulamaz, çünkü 1 + 2 = 3 < 5'tir; kısa çubuklar uzun çubuğun iki ucuna ulaşamaz. 1, 2 ve 3'te toplam üçüncü kenara eşittir ve köşeler aynı doğru üzerinde kalır; bu da alanı sıfır olan "dejenere" bir durumdur, üçgen sayılmaz. Araç bu iki durumu ayrı mesajla bildirir. Açılarla çalışırken verilen iki açının toplamı 180°'ye ulaşıyorsa ya da dik üçgende hipotenüs dik kenardan kısa yazılmışsa da hata verir.
Üçgen hesabında sık yapılan hatalar
- Hesap makinesini radyan modunda kullanmak. sin 30 radyanda −0,988 eder; derecede 0,5'tir.
- Kosinüs teoreminde eksi işaretini ya da 2 çarpanını unutmak.
- KAK durumunda verilen açının iki kenarın arasında olmadığını fark etmemek; açı aradaki değilse durum KKA'dır.
- Heron formülünde yarı çevre yerine çevreyi kullanmak.
- Alanı birimsiz bırakmak. Kenarlar cm ise alan cm², yükseklik ve yarıçaplar cm'dir.
Sıkça sorulan sorular
Kenarları 3, 4, 5 olan üçgen neden dik üçgendir?
Çünkü 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5². Pisagor teoreminin tersine göre kenarları bu eşitliği sağlayan her üçgen diktir. 5-12-13 ve 8-15-17 de aynı türden üçlülerdir.
Üçgenin iç açıları toplamı neden 180°?
Bir köşeden karşı kenara paralel bir doğru çizersen, o köşede oluşan üç açı diğer iki iç açıyla iç ters açı olarak eşleşir ve üçü birlikte düz bir açı (180°) oluşturur. Bu sonuç düzlem geometrisinde geçerlidir.
Sadece üç açıyı bilerek kenarları bulabilir miyim?
Hayır. Üç açı yalnız üçgenin biçimini belirler, büyüklüğünü belirlemez. Kenarların oranını sinüs teoremiyle bulabilirsin ama gerçek uzunluk için en az bir kenarı bilmen gerekir.
Dik üçgende bir kenarı nasıl bulurum?
İki dik kenar biliniyorsa hipotenüs √(a² + b²), bir dik kenar ve hipotenüs biliniyorsa diğer dik kenar √(c² − a²) olur. 5 ve 12 için hipotenüs 13; dik kenarı 8, hipotenüsü 10 olan üçgende diğer dik kenar 6'dır. Kök hesapları için köklü sayı aracına bakabilirsin.
Sonuçlar neden 4 ondalıkla veriliyor?
Açılar ve kenarlar çoğu zaman irrasyonel çıkar (√39 gibi). Araç sonuçları 4 ondalığa yuvarlar; ödevde istenen hassasiyete göre kendin yuvarlayabilirsin.
Üçgen hesaplama aracını nasıl kullanırım?
"Bilinenler" alanından elindeki bilgilere uyan durumu seç; yalnız o durumda gereken kenar ve açı kutuları görünür. Değerleri yaz, sonuç anında gelir: üst kısımda alan, çevre, tür ve çember yarıçapları, altta her kenarın uzunluğunu, karşı açısını ve o kenara ait yüksekliği gösteren tablo yer alır. "Hesaplama adımları" bölümünde kullanılan teorem ve Heron hesabı sayılarınla birlikte yazılıdır. Varsayılan örnek kenarları 3, 4 ve 5 olan dik üçgendir. Hacim hesapları için hacim aracını kullanabilirsin.
Kaynaklar
- T.C. Millî Eğitim Bakanlığı, Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı: 9. sınıf "Üçgenler" ünitesi (üçgen eşitsizliği, alan, Pisagor), 11. sınıf "Trigonometri" ünitesi (sinüs ve kosinüs teoremleri) (mufredat.meb.gov.tr).
- Heron formülünün sayısal olarak kararlı biçimi: W. Kahan, "Miscalculating Area and Angles of a Needle-like Triangle" (2014).
- Aracın sonuçları tablodaki üçgenlerin elle hesabıyla karşılaştırıldı.