Standart Sapma Hesaplama

Standart sapma nedir?

Girdiğin sayı listesinin popülasyon ya da örneklem standart sapmasını, varyansını, ortalamasını, standart hatasını ve varyasyon katsayısını bu araçla hesaplarsın. Standart sapma, bir veri setindeki değerlerin ortalamadan ortalama olarak ne kadar uzaklaştığını gösteren bir yayılım ölçüsüdür. Değerler ortalamaya yakınsa küçük, geniş dağılmışsa büyük çıkar.

Aynı ortalamaya sahip iki veri seti çok farklı dağılabilir. Ortalama bunu göstermez, standart sapma gösterir. Finansta risk ve oynaklık, üretimde kalite kontrolü, eğitimde sınav sonuçlarının analizi, bilimsel araştırmada ölçüm hatasının değerlendirilmesi standart sapmayla yapılır. Birimi verinin birimidir: boy cm cinsindense standart sapma da cm'dir.

Standart sapma formülü

Standart sapma, varyansın karekökü olarak hesaplanır. Verinin türüne göre iki formül vardır:

Ortalama:    μ = Σxᵢ ÷ N
Popülasyon:  σ² = Σ(xᵢ − μ)² ÷ N        → σ = √σ²
Örneklem:    s² = Σ(xᵢ − x̄)² ÷ (N − 1)   → s = √s²
Kısa yol:    σ² = Σxᵢ² ÷ N − μ²

İkisi arasındaki tek fark bölen: popülasyonda N, örneklemde N − 1. Araç ikisini de aynı anda gösterir. "Veri türü" seçimi yalnızca varyans, standart hata ve varyasyon katsayısının hangi sapmaya göre verileceğini belirler.

Standart sapma nasıl hesaplanır? Adım adım

1. Tüm değerleri toplayıp adede (N) bölerek ortalamayı bul.
2. Her değerden ortalamayı çıkar (sapma).
3. Her sapmanın karesini al; böylece eksi işaretler ortadan kalkar.
4. Kareleri topla (sapma kareleri toplamı).
5. Toplamı popülasyonda N'e, örneklemde N − 1'e böl; bu varyanstır.
6. Varyansın karekökünü al; bu da standart sapmadır.

Popülasyon mu, örneklem mi? Hangisini kullanmalıyım?

Elindeki veri ilgilendiğin kütlenin tamamıysa (bir sınıftaki tüm öğrencilerin notu, bir dükkânın o ayki tüm günlük cirosu) popülasyon formülünü kullan. Veri daha büyük bir kütleden seçilmiş bir parçaysa (anket katılımcıları, üretim bandından alınan 30 parça) örneklem formülü doğrudur. Örneklemde N − 1'e bölmek (Bessel düzeltmesi), ortalamanın da aynı veriden tahmin edilmesi yüzünden ortaya çıkan eksik tahmini giderir. Emin değilsen ve veriyi bir kütleden örnek olarak topladıysan örneklemi seç.

N büyüdükçe iki sonuç birbirine yaklaşır; fark asıl küçük veri setlerinde görülür. Excel ve Google E-Tablolar'daki STDEV.P işlevi popülasyonu, STDEV.S işlevi örneklemi hesaplar.

Örnek standart sapma hesabı

İlk örnek aracın varsayılan verisi: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 (N = 8).

Toplam = 40 → ortalama = 5
Sapmalar: −3, −1, −1, −1, 0, 0, 2, 4
Kareler: 9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16 → toplam = 32
Popülasyon: σ² = 32 ÷ 8 = 4 → σ = 2
Örneklem: s² = 32 ÷ 7 ≈ 4,5714 → s ≈ 2,1381
Varyasyon katsayısı (popülasyon) = 2 ÷ 5 × 100 = %40
Kısa yol kontrolü: Σx² = 232 → 232 ÷ 8 − 5² = 29 − 25 = 4

İkinci örnekte aynı ortalamaya sahip iki not listesi var. İkisinin de ortalaması 80, ama yayılımları çok farklı:

A: 60, 70, 80, 90, 100
   kareler: 400, 100, 0, 100, 400 → toplam = 1000
   σ² = 1000 ÷ 5 = 200 → σ ≈ 14,1421
   s² = 1000 ÷ 4 = 250 → s ≈ 15,8114
B: 78, 79, 80, 81, 82
   kareler: 4, 1, 0, 1, 4 → toplam = 10
   σ² = 10 ÷ 5 = 2 → σ ≈ 1,4142
   s² = 10 ÷ 4 = 2,5 → s ≈ 1,5811

Ortalama aynı olsa da A sınıfının notları B sınıfına göre yaklaşık on kat daha geniş yayılmış. Standart sapma bu farkı tek bir sayıyla gösterir.

Standart hata ve varyasyon katsayısı

Araç, seçilen sapmaya göre ortalamanın standart hatasını (sapma ÷ √N) verir. İlk örnekte bu değer popülasyon için 2 ÷ √8 ≈ 0,7071, örneklem için 2,1381 ÷ √8 ≈ 0,7559 çıkar. Varyasyon katsayısı, standart sapmanın ortalamanın mutlak değerine oranının yüzdesidir (sapma ÷ |ortalama| × 100). Farklı ölçekteki verileri, örneğin gram ve kilogram cinsinden iki seriyi karşılaştırmaya yarar. Ortalama sıfırsa katsayı tanımsızdır ve araç bu satırı boş bırakır.

Sonucu yorumlama

Normal dağılıma yakın verilerde değerlerin yaklaşık %68'i ortalamanın ±1 standart sapma, %95'i ±2 standart sapma, %99,7'si ±3 standart sapma aralığında kalır. İlk örnekte 9 değeri ortalamadan (9 − 5) ÷ 2 = 2 standart sapma uzakta; yani z-skoru 2'dir. Dağılım çarpıksa ya da uç değer varsa bu kural zayıflar, çünkü standart sapma aykırı değerlere duyarlıdır.

Standart sapma hesabında sık yapılan hatalar

• Sapmaları karesini almadan toplamak. Ortalamadan sapmaların toplamı her zaman 0'dır; kare almak bu yüzden zorunludur.
• Örneklem verisinde N'e bölmek. Bu, yayılımı olduğundan küçük gösterir; örneklemde N − 1 kullanılmalıdır.
• Varyansı standart sapma sanmak. Varyansın birimi karedir (cm²); standart sapma onun karekök alınmış hâlidir.
• Karekökü almayı unutmak. Örnekte σ² = 4 iken σ = 2'dir.
• Birden çok ölçeği tek sapmayla kıyaslamak. Ortalamaları farklı verilerde varyasyon katsayısını kullan.

Sıkça sorulan sorular

Standart sapma negatif olabilir mi?

Hayır. Kareler toplamının karekökü olduğu için sıfır ya da pozitiftir. Sıfır, tüm değerlerin aynı olduğu anlamına gelir.

Örneklem için neden en az iki değer gerekir?

N = 1 olduğunda N − 1 sıfırdır ve bölme tanımsız olur; tek değerden yayılım tahmin edilemez. Popülasyon sapması ise tek değerde 0'dır.

Sayıları nasıl girmeliyim?

Boşluk, satır sonu veya noktalı virgülle ayır. Ondalık için virgül ya da nokta kullanabilirsin (1,5). Virgülle ayırıyorsan 2, 4, 6 gibi araya boşluk bırak. En fazla 10.000 sayı girilebilir.

Standart sapma ile varyans arasındaki fark nedir?

Varyans, sapma karelerinin ortalamasıdır; standart sapma da onun karekökü. Standart sapma verinin kendi birimindedir, bu yüzden yorumlaması daha kolaydır.

Yüksek standart sapma iyi mi, kötü mü?

Duruma bağlı. Üretimde küçük sapma tutarlılık demektir; yatırımda büyük sapma daha yüksek oynaklık, yani belirsizlik anlamına gelir. Kıyas yaparken varyasyon katsayısına da bak.

Standart sapma, ortalama sapma ve aralıktan farkı

Ortalama mutlak sapma, sapmaların karesini değil mutlak değerini alır; standart sapma ise büyük sapmalara daha fazla ağırlık verir. Aralık (en büyük eksi en küçük değer) yalnızca iki uç değere bakar. Standart sapma tüm değerleri kullandığı için dağılımın bütününü yansıtır. 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 verisinde aralık 7, popülasyon standart sapması 2'dir.

Uç değerlerin etkisi

Sapmaların karesi alınarak toplandığı için tek bir uç değer standart sapmayı belirgin biçimde büyütür. 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 verisindeki 9'u 29 ile değiştirirsen ortalama 7,5'e çıkar, popülasyon sapması da yaklaşık 8,23'e yükselir. Veride hatalı ya da alışılmadık bir değer olduğundan şüpheleniyorsan sonucu yorumlamadan önce o değeri kontrol et.

Standart sapma nerelerde kullanılır?

Eğitimde sınıf başarısının dağılımını, üretimde ölçülerin hedeften sapmasını, meteorolojide sıcaklık değişkenliğini, yatırımda getirilerin oynaklığını ölçmek için kullanılır. Mantık hepsinde aynı: ortalama merkezi, standart sapma yayılımı anlatır ve ikisi birlikte verildiğinde veri seti çok daha doğru tanımlanır. Raporlarda genellikle "ortalama ± standart sapma" biçiminde yan yana yazılırlar.

Standart sapma ile standart hata aynı şey midir?

Hayır. Standart sapma verinin kendi yayılımını, standart hata (sapma ÷ √N) ise ortalamanın tahminindeki belirsizliği gösterir. Veri sayısı arttıkça standart hata küçülür, standart sapma ise bundan etkilenmez.

Standart sapma aracını nasıl kullanırım?

"Sayılar" alanına değerleri gir, "Veri türü" olarak popülasyon ya da örneklem seç. Araç sapmayı, varyansı, ortalamayı, adedi, toplamı, sapma kareleri toplamını, hem σ hem s değerlerini, standart hatayı ve varyasyon katsayısını verir. Ortalamayı ayrıca görmek için ortalama hesaplama, bir değerin payını bulmak için yüzde hesaplama, oranları kıyaslamak için oran-orantı araçlarına bakabilirsin. Karekök sonuçlarını sadeleştirmek için köklü sayı aracını kullan; örneğin σ² = 24 ise σ = √24 = 2√6 ≈ 4,899 olur. Gösterilen ondalık değerler yuvarlanmış yaklaşık değerlerdir.