Faktöriyel Hesaplama

Faktöriyel nedir?

Bir n doğal sayısının faktöriyeli, 1'den n'ye kadar olan bütün pozitif tam sayıların çarpımıdır ve n! diye yazılır, "n faktöriyel" diye okunur. 5! hesabı 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 sonucunu verir. Faktöriyel aslında sıralama sayar: n farklı nesneyi bir sıraya dizmenin tam n! yolu vardır. Üç kişi bir sıraya 3! = 6 farklı biçimde dizilebilir; beş kitabı bir rafa 120 farklı düzenle yerleştirebilirsin.

Permütasyon ve kombinasyon formülleri faktöriyelin üstüne kurulur. Olasılık hesabında, binom açılımında, dizi ve seri açılımlarında (örneğin e sayısının serisinde) ve algoritma analizinde sürekli karşına çıkar. Bu yazıda faktöriyelin tanımını, 0! = 1 kuralının nedenini, değerlerin ne kadar hızlı büyüdüğünü, yaklaşık hesabı ve hesaplayıcının büyük sayıları nasıl tam doğrulukla verdiğini anlattım.

Faktöriyel formülü

n! = n × (n − 1) × (n − 2) × … × 2 × 1
0! = 1
n! = n × (n − 1)!

Üçüncü satır özyinelemeli tanımdır: bir sayının faktöriyeli, o sayının bir eksiğinin faktöriyeliyle sayının kendisinin çarpımıdır. Faktöriyeli adım adım hesaplamanın en pratik yolu bu ilişkidir. 6! değerini bilen biri 7! değerini 7 × 720 = 5040 diye hemen bulur. Hesaplayıcı da aynı mantıkla 2'den n'ye kadar sayıları tek tek çarpar.

Küçük n değerleri tablosu

0! = 1
1! = 1
2! = 2
3! = 6
4! = 24
5! = 120
6! = 720
7! = 5.040
8! = 40.320
9! = 362.880
10! = 3.628.800

Tabloda görüldüğü gibi 10! şimdiden üç milyonu geçer. 12! = 479.001.600 değeri, 32 bitlik işaretli tam sayının sınırı olan yaklaşık 2,1 milyarın altında kalır; 13! ise bu sınırı aşar. Programlama dillerinde faktöriyel hesabının bu kadar erken taşması bundandır.

Neden 0! = 1?

İlk bakışta 0! değerinin 0 olmasını bekleyebilirsin, ama tanım gereği 0! = 1'dir ve bunu destekleyen üç gerekçe var. Sayma yorumuyla bakarsan, hiç elemanı olmayan kümeyi dizmenin tam bir yolu vardır: boş sıralama. Özyineleme ilişkisi de aynı sonuca götürür: n! = n × (n − 1)! kuralı n = 1 için 1! = 1 × 0! yazılmasını gerektirir ve 1! = 1 olduğuna göre 0! de 1 olmak zorundadır. Son gerekçe formüllerin tutarlılığıdır: C(n, 0) = n! ÷ (0! × n!) ifadesinin 1 çıkması için 0! değeri 1 olmalıdır. 0! = 0 olsaydı bu formül sıfıra bölmeye yol açardı.

Negatif ve ondalıklı sayılar

Klasik faktöriyel yalnızca 0 ve pozitif tam sayılar için tanımlıdır; negatif tam sayıların faktöriyeli yoktur. Faktöriyeli ondalıklı sayılara genelleştiren fonksiyon gama fonksiyonudur (n! = Γ(n + 1)). Bu araç yalnızca tam sayılarla çalışır; negatif ya da ondalıklı bir değer girersen hata mesajı verir.

Faktöriyel ne kadar hızlı büyür?

Faktöriyel, üstel fonksiyonlardan bile hızlı büyür. 20! = 2.432.902.008.176.640.000, yani yaklaşık 2,4 kentilyondur ve 19 basamaklıdır. 25! yaklaşık 1,55 × 10²⁵ eder. 52! yaklaşık 8 × 10⁶⁷'dir ve bir deste kart karıştırıldığında ortaya çıkabilecek farklı dizilişlerin sayısını verir. Bu yüzden iyi karıştırılmış bir destenin tarihte bir kez daha aynı sırayla dizilmiş olma ihtimali ihmal edilecek kadar küçüktür.

20!   = 2.432.902.008.176.640.000   (19 basamak)
70!   ≈ 1,2 × 10¹⁰⁰                   (101 basamak)
100!  ≈ 9,33 × 10¹⁵⁷                  (158 basamak)
1000! ≈ 4,02 × 10²⁵⁶⁷                 (2568 basamak)

Sıradan hesap makinelerinin çoğu 69! değerinde durur, çünkü 70! sayısı 10¹⁰⁰ sınırını aşar. Ondalıklı kayan nokta sayısı kullanan programlama dillerinde hesaplanabilen son değer 170!'dir; 171! kayan nokta sınırını taşırır. Bu araç sonucu kayan nokta yerine istenen büyüklükte tam sayılarla (BigInt) hesaplar. Bu sayede 1000! gibi 2568 basamaklı bir sayı bile yuvarlanmadan, rakamı rakamına doğru ve anında ekrana gelir. Üst sınırı 1000'de tuttum, çünkü daha büyük değerlerde sonuç gereksiz yere uzuyor ve tarayıcıyı yavaşlatıyor.

Yaklaşık hesap: Stirling formülü

Çok büyük n değerlerinde faktöriyeli tek tek çarpmak yerine Stirling yaklaşımı kullanılır:

n! ≈ √(2 × π × n) × (n ÷ e)ⁿ
Örnek: 10! ≈ 3,60 milyon (gerçek değer 3.628.800)

n büyüdükçe bu yaklaşımın bağıl hatası küçülür; n = 10 için hata yaklaşık yüzde 0,8'dir. Mühendislikte ve istatistikte faktöriyelin logaritması bu formülle hesaplanır, çünkü doğrudan çarpım taşar. Günlük işlerde hesaplayıcının verdiği tam değer yeterlidir.

Faktöriyelin kullanıldığı yerler

Permütasyon ve kombinasyon

n elemanın tam sıralaması n! tanedir. n elemandan r tanesinin sıralı seçimi P(n, r) = n! ÷ (n − r)!, sırasız seçimi C(n, r) = n! ÷ (r! × (n − r)!) ile bulunur. Ayrıntılı örnekler için permütasyon ve kombinasyon hesaplayıcılarına bakabilirsin.

Olasılık ve dağılımlar

Binom ve Poisson dağılımlarının formüllerinde faktöriyel vardır. Örneğin Poisson olasılığı P(k) = (λᵏ × e⁻λ) ÷ k! ifadesinde k! paydadadır. Bu yüzden olay sayısı arttıkça olasılıklar hızla küçülür.

Seriler ve algoritmalar

e sayısı 1 + 1 ÷ 1! + 1 ÷ 2! + 1 ÷ 3! + … serisiyle hesaplanır; paydadaki faktöriyel yüzünden terimler çok hızlı küçülür. Bilgisayar biliminde n elemanı sıralamanın bütün yollarını deneyen algoritmaların işlem sayısı n! ile orantılıdır. n 12 ya da 15'e ulaştığında bu tür yöntemler pratikte kullanılamaz hâle gelir.

Faktöriyel nasıl hesaplanır? Adım adım

1. n sayısını yaz ve her adımda bir azaltarak 1’e kadar bütün sayıları sırala.
2. Sayıları soldan sağa çarp; ara sonucu her adımda yeniden kullan.
3. n = 0 ise çarpım yapılmaz, sonuç 1’dir.
4. Büyük n değerlerinde elle çarpmak yerine n! = n × (n − 1)! ilişkisiyle bir önceki sonucu kullan.

6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1
   = 30 × 4 × 3 × 2 × 1
   = 120 × 3 × 2 × 1
   = 720

Faktöriyelli ifadeleri sadeleştirme

Faktöriyelli oranlarda ortak çarpanlar kısaltılır, böylece iki devasa sayıyı hesaplaman gerekmez. 8! ÷ 5! ifadesinde 8! = 8 × 7 × 6 × 5! olduğundan 5! sadeleşir ve sonuç 8 × 7 × 6 = 336 çıkar. Permütasyon ve kombinasyon formüllerinin kısa bir çarpıma dönüşmesinin nedeni de budur.

Faktöriyelin asal çarpanları

n! sayısındaki her asalın üssü, n’nin o asalın kuvvetlerine bölümlerinin tam kısımlarının toplamıdır. 10! için 2’nin üssü 5 + 2 + 1 = 8, 3’ün üssü 3 + 1 = 4, 5’in üssü 2, 7’nin üssü 1 olur; yani 10! = 2⁸ × 3⁴ × 5² × 7 = 3.628.800. Çarpanlara ayırmak için asal çarpan aracını, üslü gösterim için üslü sayı sayfasını kullanabilirsin.

Faktöriyel hesabında sık yapılan hatalar

En sık görülen hata n! değerini n'nin kendisiyle çarpımı sanmaktır: 5! değeri 25 eder sanılır, oysa 120'dir. 0! değerini 0 almak da yaygındır; doğrusu 1'dir. Bazıları faktöriyeli toplamla karıştırır: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 iken 5! = 120 olur. (n + 1)! ile n! + 1 ifadelerini eşit saymak da hatadır; (n + 1)! = (n + 1) × n! değeridir. Faktöriyelli oranları sadeleştirmeden hesaplamak gereksiz yük getirir: 100! ÷ 98! için iki devasa sayıyı hesaplamak yerine 100 × 99 = 9900 sadeleşmesini kullanman yeterli. Son olarak ondalıklı sayı girme; araç yalnızca tam sayı kabul eder.

Sıkça sorulan sorular

Faktöriyel hangi sayılar için tanımlıdır?

0 ve bütün pozitif tam sayılar için. Negatif sayıların faktöriyeli tanımsızdır. Bu araçta n, 0 ile 1000 arasında bir tam sayı olmalıdır.

Sonuç neden bu kadar uzun?

Faktöriyel hızlı büyüdüğü için kısa sürede yüzlerce basamağa ulaşır. Araç sonucu bilimsel gösterime çevirip yuvarlamaz; tam değeri verir ve altına basamak sayısını yazar. Örneğin 100! için basamak sayısı 158 görünür.

Faktöriyelin son rakamı neden sıfır olur?

5! ve sonrasında çarpıma hem 2 hem 5 girer ve bu ikili 10 üretir. Bu yüzden 5! = 120'den itibaren bütün faktöriyeller sıfırla biter. n! sayısının sonundaki sıfır adedi, n ÷ 5'in tam kısmı ile n ÷ 25, n ÷ 125 gibi terimlerin tam kısımlarının toplamına eşittir. 100! için bu toplam 20 + 4 = 24 olduğundan sayı tam 24 sıfırla biter.

Faktöriyel ile üs almak aynı şey midir?

Hayır. nⁿ ifadesi n sayısını kendisiyle n kez çarpar; n! ise her adımda bir küçülen sayıları çarpar. n = 5 için 5⁵ = 3125 iken 5! = 120 olur. Yine de büyük n değerlerinde ikisi aynı mertebede büyür; Stirling formülündeki (n ÷ e)ⁿ terimi bu ilişkiyi gösterir.

0! ile 1! neden aynı değerdedir?

İkisi de 1’dir. 1! = 1 doğrudan çarpımdan gelir. 0! = 1 ise boş sıralamanın tek yolu olmasından ve n! = n × (n − 1)! ilişkisinin tutarlı kalmasından gelir.

Faktöriyelli bir oranı nasıl sadeleştiririm?

Büyük faktöriyeli, küçük faktöriyeli içerecek biçimde aç ve sadeleştir. 100! ÷ 98! = 100 × 99 = 9900 olur. Böyle oranların sonucu sıralı seçim sayısıdır; permütasyon ve kombinasyon araçları aynı işi yapar.

Faktöriyel hesaplama aracını nasıl kullanırım?

"Sayı (n)" alanına 0 ile 1000 arasında bir tam sayı gir. Varsayılan değer 10'dur ve sonuç 3628800 çıkar. Araç iki çıktı verir: "n! sonucu" tam değeri, "Basamak sayısı" da sonucun kaç haneli olduğunu gösterir. Sonuç çok uzunsa satırı yana kaydırarak bütün rakamları görebilirsin. Belirli bir sıralama ya da seçim sayısını arıyorsan n değerini önce burada deneyip ardından permütasyon ve kombinasyon araçlarıyla devam edebilirsin.

Faktöriyel sonuçlarının kesinliği

Bu sayfadaki sonuçlar tam sayı aritmetiğiyle hesaplandığı için yuvarlama hatası içermez. Yazıdaki yaklaşık değerler (Stirling hesabı, üstel gösterimler) yalnızca büyüklük hakkında fikir vermek için var. Faktöriyel sonuçlarını olasılık ya da sıralama yorumunda kullanırken sayma varsayımlarının, yani elemanların birbirinden farklı olduğunun ve tekrar etmediğinin doğru olduğundan emin ol.