İkinci Dereceden Denklem Çözme

İkinci dereceden denklem çözücü ne yapar?

ax² + bx + c = 0 denkleminin a, b ve c katsayılarını yazdığında araç diskriminantı hesaplar, köklerin türünü söyler ve kökleri bulur. Kökler gerçek değilse karmaşık sayı olarak (−1 ± 2i gibi) verilir. Katsayılar tam sayıysa kökler kesir ya da sade köklü biçimde (1 ± √2 gibi) de yazılır. Kökler toplamı, kökler çarpımı, parabolün tepe noktası ve mümkünse çarpanlara ayrılmış biçim de sonuçta yer alır.

İkinci dereceden denklem, bilinmeyenin en büyük kuvvetinin 2 olduğu denklemdir. a katsayısı 0 olamaz; a = 0 olursa x² terimi kaybolur ve denklem bx + c = 0 biçiminde birinci dereceden bir denkleme dönüşür. b ya da c sıfır olabilir: x² − 9 = 0 ve x² − 4x = 0 da ikinci dereceden denklemdir.

Diskriminant ve kök sayısı

Kökleri bulmadan önce kaç tane olduklarını diskriminant (Δ, delta) söyler:

Δ = b² − 4ac
Δ > 0  → iki farklı gerçek kök
Δ = 0  → çakışık iki kök (çift katlı kök)
Δ < 0  → gerçek kök yok, iki karmaşık eşlenik kök

x² − 5x + 6 = 0 denkleminde a = 1, b = −5, c = 6 olduğundan Δ = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1 bulunur. Δ pozitif olduğu için iki farklı gerçek kök vardır. Eksi işaretli katsayıların karesini alırken parantezi unutma: (−5)² = 25, oysa −5² yazımı −25 diye okunur.

Kök formülü

x₁,₂ = (−b ± √Δ) / 2a

Δ tam kare değilse kökler irrasyoneldir. Bu durumda √Δ sadeleştirilir ve ortak çarpan varsa pay ile paydadan atılır: √8 = 2√2 olduğundan (2 ± 2√2) / 2 = 1 ± √2 olur. Ondalık olarak x₁ ≈ 2,4142 ve x₂ ≈ −0,4142'dir. Kök sadeleştirme kuralları için köklü sayı aracına bakabilirsin; araç √Δ'yı aynı yöntemle sadeleştirir.

Δ negatifse gerçek sayılarda karekök alınamaz. Karmaşık sayılarda i² = −1 tanımlandığı için √−16 = 4i yazılır ve kökler −1 + 2i ile −1 − 2i olur. Bu iki kök birbirinin eşleniğidir; gerçek katsayılı bir denklemin karmaşık kökleri hep eşlenik çift olarak gelir.

Çarpanlara ayırma ile çözüm

Kökler tam sayı ya da basit kesirse çarpanlara ayırmak formülden hızlıdır. x² − 5x + 6 için çarpımı 6, toplamı −5 olan iki sayı aranır: −2 ve −3. Böylece x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) yazılır ve çarpım sıfır olduğuna göre x = 2 ya da x = 3 bulunur.

Baş katsayı 1 değilse araç çarpanları kesirden arındırarak yazar. 2x² − x − 1 = 0 denkleminin kökleri 1 ve −1/2 olduğundan 2x² − x − 1 = (x − 1)(2x + 1) olur. 2x² − 4x − 6 için ortak çarpan 2 dışarıda kalır: 2(x − 3)(x + 1). Kökler irrasyonel ya da karmaşıksa tam sayı katsayılı çarpanlar bulunamaz; araç bu satırı o durumda göstermez.

Kökler toplamı ve çarpımı (Vieta bağıntıları)

x₁ + x₂ = −b / a
x₁ × x₂ = c / a

Bu bağıntılar kökleri bulmadan da işe yarar. 2x² − 4x − 6 = 0 denkleminde kökler toplamı −(−4) / 2 = 2, kökler çarpımı −6 / 2 = −3'tür; gerçekten 3 + (−1) = 2 ve 3 × (−1) = −3. Kökleri verilen denklemi kurmak için de kullanılır: kökleri 4 ve −1 olan denklem x² − 3x − 4 = 0'dır. Sınav sorularında "kökleri x₁ ve x₂ olan denklemde x₁² + x₂² kaçtır?" tipi sorular da bu iki değerle çözülür: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂.

Parabol ve tepe noktası

y = ax² + bx + c fonksiyonunun grafiği paraboldür. Denklemin gerçek kökleri, parabolün x eksenini kestiği noktalardır. Δ > 0 iken parabol ekseni iki noktada keser, Δ = 0 iken eksene tek noktada teğet olur, Δ < 0 iken eksene hiç değmez.

Tepe noktası T(r, k):  r = −b / 2a,  k = −Δ / 4a
a > 0 → kollar yukarı, k en küçük değer
a < 0 → kollar aşağı, k en büyük değer

x² − 5x + 6 için r = 5/2 ve k = −1/4'tür; parabolün en alçak noktası T(5/2; −1/4) olur. Araç virgüllü sayılarla karışmasın diye koordinatları noktalı virgülle ayırır. Simetri ekseni x = r doğrusudur ve iki kök bu doğruya eşit uzaklıktadır: (2 + 3) / 2 = 5/2. Tepe noktası, bir ürünün en yüksek kârını ya da bir topun çıkabileceği en büyük yüksekliği bulan problemlerin cevabıdır.

Ondalık katsayılar ve sayısal doğruluk

Katsayılar ondalıklı da olabilir; 0,5x² − 1,5x + 1 = 0 denkleminin kökleri 2 ve 1'dir. Bu durumda araç sonucu 10 anlamlı basamakla verir ve kesirli tam biçimi göstermez. b katsayısı çok büyük, a ve c küçük olduğunda kök formülü bilgisayarda yuvarlama hatasına açıktır (iki yakın sayının farkı alınır). Araç bu durumda formülün eşdeğer, kararlı bir biçimini kullanır: önce büyük kök bulunur, küçük kök x₁ × x₂ = c / a bağıntısından hesaplanır.

İkinci dereceden denklemde sık yapılan hatalar

• −b yerine b yazmak. b = −5 ise −b = 5'tir.
• Paydadaki 2a'yı yalnız √Δ'ya bölmek. Bütün pay (−b ± √Δ) 2a'ya bölünür.
• Denklemi = 0 biçimine getirmeden katsayıları okumak. x² = 5x − 6 denkleminde önce her şey sola alınır: x² − 5x + 6 = 0.
• Δ < 0 iken "çözüm yok" deyip bırakmak. Gerçek sayılarda çözüm kümesi boştur, karmaşık sayılarda iki kök vardır.
• Her iki tarafı x'e bölmek. x² − 4x = 0 denkleminde x'e bölersen x = 0 kökünü kaybedersin; doğrusu x(x − 4) = 0, yani x = 0 ya da x = 4'tür.

Sıkça sorulan sorular

Diskriminant neden b² − 4ac?

Denklem tam kareye tamamlanınca (x + b/2a)² = (b² − 4ac) / 4a² elde edilir. Sağ tarafın işaretini b² − 4ac belirlediği için kök sayısını bu ifade söyler. Kök formülü de bu eşitliğin iki tarafının karekökü alınarak bulunur.

Δ = 0 ise neden "iki kök" deniyor?

Denklemin ikinci dereceden olduğu için iki kökü vardır, Δ = 0 iken bu iki kök çakışır. (x − 3)² = 0 ifadesinde x − 3 çarpanı iki kez yer alır; bu yüzden 3'e çift katlı kök denir.

Karmaşık kök ne işe yarar?

Elektrik devreleri, titreşim ve dalga hesaplarında karmaşık kökler gerçek bir anlam taşır. Okul düzeyinde ise Δ < 0 sonucunun "parabol x eksenini kesmiyor" demek olduğunu bilmek çoğu zaman yeterlidir.

Üçüncü dereceden denklemleri de çözüyor mu?

Hayır. Araç yalnız ax² + bx + c = 0 biçimindeki denklemleri çözer. x⁴ − 5x² + 4 = 0 gibi bazı denklemler x² = t dönüşümüyle ikinci dereceye indirgenebilir; t için bulduğun kökleri sonra x'e çevirirsin.

Katsayıları kesirli bir denklemi nasıl girerim?

Denklemi paydaların EKOK'u ile çarparak tam sayılı hâle getir. x²/2 − x/3 − 1 = 0 denklemini 6 ile çarparsan 3x² − 2x − 6 = 0 olur ve kökler değişmez. Payda eşitleme için kesir aracını kullanabilirsin.

Denklem çözücüyü nasıl kullanırım?

Denklemi ax² + bx + c = 0 biçimine getir ve üç katsayıyı yaz; olmayan terim için 0 gir. Sonuç kutusunda kökler, diskriminant, kök türü, kökler toplamı ve çarpımı, tepe noktası ve kolların yönü görünür. "Hesaplama adımları" bölümünde Δ hesabı, kök formülü ve sadeleştirme satır satır yer alır. Varsayılan örnek x² − 5x + 6 = 0 denklemidir ve 3 ile 2 köklerini verir. Kuvvet hesapları için üslü sayı aracına bakabilirsin.

Kaynaklar

• T.C. Millî Eğitim Bakanlığı, Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı, 10. sınıf "İkinci Dereceden Denklemler" ve "Fonksiyonlar" üniteleri (mufredat.meb.gov.tr).
• Kök formülünün sayısal olarak kararlı biçimi: W. H. Press ve diğerleri, Numerical Recipes, "Quadratic and Cubic Equations" bölümü.
• Aracın sonuçları tablodaki örnek denklemlerin elle çözümüyle karşılaştırıldı.