# İkinci Dereceden Denklem Çözme > ax² + bx + c = 0 denklemini çözün: diskriminant, gerçek ya da karmaşık kökler, kökler toplamı ve çarpımı, tepe noktası ve adım adım çözüm. - Adres: https://hesapo.com/ikinci-dereceden-denklem/ - Kategori: [Matematik](https://hesapo.com/kategori/matematik/) - Son güncelleme: 2026-10-09 Diskriminantın kök sayısını nasıl belirlediğini, kök formülünü, çarpanlara ayırmayı ve kökler toplamı ile çarpımı kurallarını aşağıda adım adım çözülmüş örneklerle anlattık. **Kısaca** - ax² + bx + c = 0'da Δ = b² − 4ac; Δ > 0 iki farklı gerçek kök, Δ = 0 çakışık kök, Δ < 0 iki karmaşık eşlenik kök verir. - Kök formülü x₁,₂ = (−b ± √Δ) ÷ 2a; örneğin x² − 5x + 6 = 0 denkleminin kökleri 2 ve 3'tür. - Vieta bağıntıları: kökler toplamı −b ÷ a, kökler çarpımı c ÷ a; bu değerler kökleri bulmadan da kullanılabilir. - Parabolün tepe noktası r = −b ÷ 2a, k = −Δ ÷ 4a; a > 0 ise k en küçük, a < 0 ise en büyük değerdir. ## İkinci dereceden denklem çözücü ne yapar? ax² + bx + c = 0 denkleminin a, b ve c katsayılarını yazdığında araç diskriminantı hesaplar, köklerin türünü söyler ve kökleri bulur. Kökler gerçek değilse karmaşık sayı olarak (−1 ± 2i gibi) verilir. Katsayılar tam sayıysa kökler kesir ya da sade köklü biçimde (1 ± √2 gibi) de yazılır. Kökler toplamı, kökler çarpımı, parabolün tepe noktası ve mümkünse çarpanlara ayrılmış biçim de sonuçta yer alır. İkinci dereceden denklem, bilinmeyenin en büyük kuvvetinin 2 olduğu denklemdir. a katsayısı 0 olamaz; a = 0 olursa x² terimi kaybolur ve denklem bx + c = 0 biçiminde birinci dereceden bir denkleme dönüşür. b ya da c sıfır olabilir: x² − 9 = 0 ve x² − 4x = 0 da ikinci dereceden denklemdir. ## Diskriminant ve kök sayısı Kökleri bulmadan önce kaç tane olduklarını diskriminant (Δ, delta) söyler: ``` Δ = b² − 4ac Δ > 0 → iki farklı gerçek kök Δ = 0 → çakışık iki kök (çift katlı kök) Δ < 0 → gerçek kök yok, iki karmaşık eşlenik kök ``` x² − 5x + 6 = 0 denkleminde a = 1, b = −5, c = 6 olduğundan Δ = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1 bulunur. Δ pozitif olduğu için iki farklı gerçek kök vardır. Eksi işaretli katsayıların karesini alırken parantezi unutma: (−5)² = 25, oysa −5² yazımı −25 diye okunur. ## Kök formülü ``` x₁,₂ = (−b ± √Δ) / 2a ``` | Denklem | Δ | Kökler | | --- | --- | --- | | x² − 5x + 6 = 0 | 1 | (5 ± 1) / 2 → 3 ve 2 | | 2x² − 4x − 6 = 0 | 64 | (4 ± 8) / 4 → 3 ve −1 | | 2x² − x − 1 = 0 | 9 | (1 ± 3) / 4 → 1 ve −1/2 | | x² − 6x + 9 = 0 | 0 | 6 / 2 → 3 (çift katlı) | | x² − 2x − 1 = 0 | 8 | (2 ± 2√2) / 2 → 1 ± √2 | | 2x² + 3x − 1 = 0 | 17 | (−3 ± √17) / 4 | | x² + 2x + 5 = 0 | −16 | (−2 ± 4i) / 2 → −1 ± 2i | Δ tam kare değilse kökler irrasyoneldir. Bu durumda √Δ sadeleştirilir ve ortak çarpan varsa pay ile paydadan atılır: √8 = 2√2 olduğundan (2 ± 2√2) / 2 = 1 ± √2 olur. Ondalık olarak x₁ ≈ 2,4142 ve x₂ ≈ −0,4142'dir. Kök sadeleştirme kuralları için [köklü sayı aracına](https://hesapo.com/koklu-sayi/) bakabilirsin; araç √Δ'yı aynı yöntemle sadeleştirir. Δ negatifse gerçek sayılarda karekök alınamaz. Karmaşık sayılarda i² = −1 tanımlandığı için √−16 = 4i yazılır ve kökler −1 + 2i ile −1 − 2i olur. Bu iki kök birbirinin eşleniğidir; gerçek katsayılı bir denklemin karmaşık kökleri hep eşlenik çift olarak gelir. ## Çarpanlara ayırma ile çözüm Kökler tam sayı ya da basit kesirse çarpanlara ayırmak formülden hızlıdır. x² − 5x + 6 için çarpımı 6, toplamı −5 olan iki sayı aranır: −2 ve −3. Böylece x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) yazılır ve çarpım sıfır olduğuna göre x = 2 ya da x = 3 bulunur. Baş katsayı 1 değilse araç çarpanları kesirden arındırarak yazar. 2x² − x − 1 = 0 denkleminin kökleri 1 ve −1/2 olduğundan 2x² − x − 1 = (x − 1)(2x + 1) olur. 2x² − 4x − 6 için ortak çarpan 2 dışarıda kalır: 2(x − 3)(x + 1). Kökler irrasyonel ya da karmaşıksa tam sayı katsayılı çarpanlar bulunamaz; araç bu satırı o durumda göstermez. ## Kökler toplamı ve çarpımı (Vieta bağıntıları) ``` x₁ + x₂ = −b / a x₁ × x₂ = c / a ``` Bu bağıntılar kökleri bulmadan da işe yarar. 2x² − 4x − 6 = 0 denkleminde kökler toplamı −(−4) / 2 = 2, kökler çarpımı −6 / 2 = −3'tür; gerçekten 3 + (−1) = 2 ve 3 × (−1) = −3. Kökleri verilen denklemi kurmak için de kullanılır: kökleri 4 ve −1 olan denklem x² − 3x − 4 = 0'dır. Sınav sorularında "kökleri x₁ ve x₂ olan denklemde x₁² + x₂² kaçtır?" tipi sorular da bu iki değerle çözülür: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂. ## Parabol ve tepe noktası y = ax² + bx + c fonksiyonunun grafiği paraboldür. Denklemin gerçek kökleri, parabolün x eksenini kestiği noktalardır. Δ > 0 iken parabol ekseni iki noktada keser, Δ = 0 iken eksene tek noktada teğet olur, Δ < 0 iken eksene hiç değmez. ``` Tepe noktası T(r, k): r = −b / 2a, k = −Δ / 4a a > 0 → kollar yukarı, k en küçük değer a < 0 → kollar aşağı, k en büyük değer ``` x² − 5x + 6 için r = 5/2 ve k = −1/4'tür; parabolün en alçak noktası T(5/2; −1/4) olur. Araç virgüllü sayılarla karışmasın diye koordinatları noktalı virgülle ayırır. Simetri ekseni x = r doğrusudur ve iki kök bu doğruya eşit uzaklıktadır: (2 + 3) / 2 = 5/2. Tepe noktası, bir ürünün en yüksek kârını ya da bir topun çıkabileceği en büyük yüksekliği bulan problemlerin cevabıdır. ## Ondalık katsayılar ve sayısal doğruluk Katsayılar ondalıklı da olabilir; 0,5x² − 1,5x + 1 = 0 denkleminin kökleri 2 ve 1'dir. Bu durumda araç sonucu 10 anlamlı basamakla verir ve kesirli tam biçimi göstermez. b katsayısı çok büyük, a ve c küçük olduğunda kök formülü bilgisayarda yuvarlama hatasına açıktır (iki yakın sayının farkı alınır). Araç bu durumda formülün eşdeğer, kararlı bir biçimini kullanır: önce büyük kök bulunur, küçük kök x₁ × x₂ = c / a bağıntısından hesaplanır. ## İkinci dereceden denklemde sık yapılan hatalar - −b yerine b yazmak. b = −5 ise −b = 5'tir. - Paydadaki 2a'yı yalnız √Δ'ya bölmek. Bütün pay (−b ± √Δ) 2a'ya bölünür. - Denklemi = 0 biçimine getirmeden katsayıları okumak. x² = 5x − 6 denkleminde önce her şey sola alınır: x² − 5x + 6 = 0. - Δ < 0 iken "çözüm yok" deyip bırakmak. Gerçek sayılarda çözüm kümesi boştur, karmaşık sayılarda iki kök vardır. - Her iki tarafı x'e bölmek. x² − 4x = 0 denkleminde x'e bölersen x = 0 kökünü kaybedersin; doğrusu x(x − 4) = 0, yani x = 0 ya da x = 4'tür. ## Sıkça sorulan sorular ### Diskriminant neden b² − 4ac? Denklem tam kareye tamamlanınca (x + b/2a)² = (b² − 4ac) / 4a² elde edilir. Sağ tarafın işaretini b² − 4ac belirlediği için kök sayısını bu ifade söyler. Kök formülü de bu eşitliğin iki tarafının karekökü alınarak bulunur. ### Δ = 0 ise neden "iki kök" deniyor? Denklemin ikinci dereceden olduğu için iki kökü vardır, Δ = 0 iken bu iki kök çakışır. (x − 3)² = 0 ifadesinde x − 3 çarpanı iki kez yer alır; bu yüzden 3'e çift katlı kök denir. ### Karmaşık kök ne işe yarar? Elektrik devreleri, titreşim ve dalga hesaplarında karmaşık kökler gerçek bir anlam taşır. Okul düzeyinde ise Δ < 0 sonucunun "parabol x eksenini kesmiyor" demek olduğunu bilmek çoğu zaman yeterlidir. ### Üçüncü dereceden denklemleri de çözüyor mu? Hayır. Araç yalnız ax² + bx + c = 0 biçimindeki denklemleri çözer. x⁴ − 5x² + 4 = 0 gibi bazı denklemler x² = t dönüşümüyle ikinci dereceye indirgenebilir; t için bulduğun kökleri sonra x'e çevirirsin. ### Katsayıları kesirli bir denklemi nasıl girerim? Denklemi paydaların EKOK'u ile çarparak tam sayılı hâle getir. x²/2 − x/3 − 1 = 0 denklemini 6 ile çarparsan 3x² − 2x − 6 = 0 olur ve kökler değişmez. Payda eşitleme için [kesir aracını](https://hesapo.com/kesir/) kullanabilirsin. ## Denklem çözücüyü nasıl kullanırım? Denklemi ax² + bx + c = 0 biçimine getir ve üç katsayıyı yaz; olmayan terim için 0 gir. Sonuç kutusunda kökler, diskriminant, kök türü, kökler toplamı ve çarpımı, tepe noktası ve kolların yönü görünür. "Hesaplama adımları" bölümünde Δ hesabı, kök formülü ve sadeleştirme satır satır yer alır. Varsayılan örnek x² − 5x + 6 = 0 denklemidir ve 3 ile 2 köklerini verir. Kuvvet hesapları için [üslü sayı](https://hesapo.com/uslu-sayi/) aracına bakabilirsin. ## Kaynaklar - T.C. Millî Eğitim Bakanlığı, Ortaöğretim Matematik Dersi Öğretim Programı, 10. sınıf "İkinci Dereceden Denklemler" ve "Fonksiyonlar" üniteleri (mufredat.meb.gov.tr). - Kök formülünün sayısal olarak kararlı biçimi: W. H. Press ve diğerleri, Numerical Recipes, "Quadratic and Cubic Equations" bölümü. - Aracın sonuçları tablodaki örnek denklemlerin elle çözümüyle karşılaştırıldı. --- Bu metin https://hesapo.com/ikinci-dereceden-denklem/ sayfasının Markdown sürümüdür (Hesapo). Hesaplayıcı yalnız sayfada çalışır. Atıf için sayfanın adresini kullanın.