# EBOB EKOK Hesaplama > İki veya daha fazla sayının en büyük ortak bölenini (EBOB) ve en küçük ortak katını (EKOK) hesaplayın; sayıları girin, sonucu anında görün. - Adres: https://hesapo.com/ebob-ekok/ - Kategori: [Matematik](https://hesapo.com/kategori/matematik/) - Son güncelleme: 2026-10-15 Çözümlü örneklerle iki kavramın nasıl bulunduğunu adım adım gösterdik. EBOB ve EKOK'un günlük hayatta hangi problemlerde işe yaradığını, giriş kurallarını ve sık yapılan hataları da aşağıda bulabilirsiniz. **Kısaca** - EBOB, sayıların hepsini kalansız bölen en büyük sayı; EKOK ise hepsinin tam katı olan en küçük pozitif sayıdır. - İki sayı için EBOB × EKOK = sayıların çarpımı: 12 ve 18'de EBOB 6, EKOK 36'dır. Bu bağıntı üç sayıda geçerli değil. - Araç EBOB'u Öklid algoritmasıyla bulur: büyük sayı küçüğe bölünür, kalanla devam edilir, kalan sıfır olunca son bölen EBOB'dur. - Sonucu kontrol et: EBOB girdiğin en küçük sayıdan büyük, EKOK da en büyük sayıdan küçük olamaz. ## EBOB ve EKOK nedir? EBOB, "en büyük ortak bölen" ifadesinin kısaltmasıdır: verilen sayıların hepsini kalansız bölen sayıların en büyüğü. EKOK ise "en küçük ortak kat" demektir, yani verilen sayıların hepsinin tam katı olan pozitif sayıların en küçüğü. İki kavram birbirinin tersi yönde çalışır. EBOB sayıların içine bakar ve hepsinin paylaştığı en büyük parçayı arar. EKOK sayıların dışına çıkar ve hepsinin aynı anda ulaşabildiği ilk noktayı arar. Okul matematiğinde bu iki kavram genellikle birlikte öğretilir, çünkü ikisi de aynı asal çarpan yapısından türer ve gündelik hayatta birbirini tamamlayan sorulara cevap verir. Bir kesri sadeleştirirken, bir zemini kareler hâlinde döşerken ya da malzemeyi eşit paketlere bölerken EBOB kullanılır. İki periyodik olayın ne zaman yeniden çakışacağını bulurken ya da farklı paydalı kesirleri toplarken ortak payda ararken EKOK devreye girer. ``` EBOB(a, b) × EKOK(a, b) = a × b (yalnızca iki sayı için) 12 ile 18: EBOB = 6, EKOK = 36 6 × 36 = 216 = 12 × 18 ``` Bu eşitlik yalnızca iki sayı için geçerlidir. Üç ya da daha fazla sayıda çarpım ile EBOB ve EKOK arasında bu kısa bağıntı kurulamaz. Hesaplayıcı da bu yüzden listedeki sayıları ikişer ikişer işler. ## EBOB ve EKOK nasıl hesaplanır? İki ana yöntem var: asal çarpanlara ayırma ve Öklid algoritması. Hesaplayıcı Öklid algoritmasını kullanır, çünkü büyük sayılarda çarpanlara ayırmaktan çok daha hızlıdır. Yine de iki yöntemi bilirsen sonucu elle doğrulayabilirsin. ### Asal çarpanlara ayırma yöntemi Her sayı, asal çarpanlarının çarpımı olarak yazılır. EBOB için bütün sayılarda ortak olan asal çarpanlar seçilir ve her biri en küçük üssüyle alınır. EKOK için ise sayılardan herhangi birinde geçen bütün asal çarpanlar seçilir ve her biri en büyük üssüyle alınır. ``` 18 = 2 × 3² 24 = 2³ × 3 30 = 2 × 3 × 5 EBOB: ortak çarpanlar 2 ve 3, en küçük üsler → 2¹ × 3¹ = 6 EKOK: tüm çarpanlar 2, 3, 5, en büyük üsler → 2³ × 3² × 5 = 360 ``` ### Öklid algoritması Büyük sayı küçüğe bölünür ve işleme bölümle değil kalanla devam edilir: büyük sayının yerine küçük sayı, küçük sayının yerine de kalan geçer. Kalan sıfır olduğunda son bölen EBOB'dur. Yöntemin dayandığı gözlem şu: a ile b'nin ortak bölenleri, b ile (a bölü b'den kalan) sayısının ortak bölenleriyle aynıdır. Algoritma iki bin yıldan uzun süredir biliniyor ve bilgisayarlarda hâlâ aynı biçimde kullanılıyor. ``` EBOB(180, 48) 180 = 3 × 48 + 36 48 = 1 × 36 + 12 36 = 3 × 12 + 0 → EBOB = 12 EKOK(180, 48) = 180 × 48 ÷ 12 = 720 ``` Bu araçta EKOK, EBOB üzerinden bulunur: iki sayının EKOK'u, çarpımlarının EBOB'a bölümüdür. Hesaplayıcı çarpmadan önce bölme yapar, böylece ara değerler gereksiz yere büyümez. Üç ya da daha fazla sayıda önce ilk ikisinin EBOB ve EKOK'u bulunur, sonra sonuç üçüncü sayıyla birleştirilir ve iş böyle sürer. ## Çözümlü EBOB ve EKOK örnekleri ``` 252 ve 105 252 = 2 × 105 + 42 105 = 2 × 42 + 21 42 = 2 × 21 + 0 → EBOB = 21 EKOK = 252 × 105 ÷ 21 = 1260 18, 24 ve 30 EBOB(18, 24) = 6, EBOB(6, 30) = 6 → EBOB = 6 EKOK(18, 24) = 72, EKOK(72, 30) = 360 → EKOK = 360 ``` Aralarında asal sayılarda (ortak böleni yalnızca 1 olan sayılar) EBOB 1'dir ve EKOK doğrudan çarpıma eşittir. Örneğin 8 ve 15 için EBOB 1, EKOK 120'dir. Bir sayı ötekinin tam katıysa EBOB küçük sayı, EKOK büyük sayı olur: 6 ve 30 için EBOB 6, EKOK 30 çıkar. ## Günlük hayatta EBOB ve EKOK ### EBOB ile çözülen sorular 360 cm × 240 cm ölçülerindeki bir zemini hiç kesmeden kare karolarla kaplamak istediğini düşün. Kullanabileceğin en büyük karo kenarı EBOB(360, 240) = 120 cm'dir ve bu durumda zemine 3 × 2 = 6 karo gerekir. Daha küçük karolar da kullanılabilir, ama kenar uzunluğu 120'nin böleni olmalıdır. 120'den büyük hiçbir kare karo zemini kesmeden döşenemez. Aynı mantık malzeme paylaştırmada da işe yarar. 48 kalem ile 180 silgiyi hiçbir şey artmayacak biçimde en fazla kaç özdeş pakete bölebilirsin? Cevap EBOB(48, 180) = 12 pakettir; her pakette 4 kalem ve 15 silgi olur. Kesirleri sadeleştirmek de EBOB'un işidir: 18/24 kesrinde pay ile paydanın EBOB'u 6 olduğu için kesir 3/4'e sadeleşir. ### EKOK ile çözülen sorular 15 dakikada bir ve 20 dakikada bir çalan iki alarm saat 09.00'da birlikte çaldı. Bir sonraki birlikte çalış EKOK(15, 20) = 60 dakika sonra, yani 10.00'da olur. Dişlilerde de aynı hesap yapılır: 12 dişli ve 18 dişli iki çark birbirine geçmişse ikisi başlangıç konumuna ancak 36 diş döndükten sonra birlikte gelir. Bu sürede küçük çark 3, büyük çark 2 tam tur atmış olur. Kesirleri toplarken ortak payda bulmak da EKOK'tur. 5/12 + 7/18 işleminde paydaların EKOK'u 36 olduğu için 15/36 + 14/36 = 29/36 elde edilir. Herhangi bir ortak payda işe yarar, ama EKOK en küçük payda olduğu için sonucu daha az sadeleştirmen gerekir. ## Giriş kuralları ve sınırlar Her sayıyı ayrı bir kutuya yazarsın; yeni kutu için "Sayı ekle" düğmesine bas ya da son kutudayken Enter'a dokun, fazla kutuyu yanındaki × ile sil. Elindeki listeyi (örneğin 18 24 30) tek kutuya yapıştırırsan araç sayıları kendiliğinden ayrı kutulara böler. Araç yalnızca pozitif tam sayıları kabul eder. Sıfır, negatif sayı ve ondalıklı sayı reddedilir; hatalı girişin hangisi olduğu mesajda gösterilir. En az iki sayı girmen gerekir; tek sayının EBOB ve EKOK'u anlamlı olmadığı için bu durum hata verir. Bir seferde en fazla 50 sayı, her sayı için de en fazla 30 basamak girilebilir. Hesapta çok büyük tam sayı türü kullanıldığı için EKOK, sayılar büyük olsa bile taşmadan ve tam doğrulukla bulunur. ### Araç girdiğin metni nasıl okur? Her kutu yalnız rakamlardan oluşmalı. "007" gibi baştaki sıfırlar sorun çıkarmaz, sayı 7 olarak okunur. Aynı sayıyı iki kez yazarsan sonuç değişmez: 12, 12, 18 listesinin EBOB'u yine 6, EKOK'u yine 36'dır. Hesap girilen sıraya göre soldan sağa ilerler, ama EBOB ve EKOK işlemleri sıradan bağımsız olduğu için 30, 24, 18 yazmak da aynı sonucu verir. Düğmeyle en fazla 10 kutu açılır; daha uzun bir listeyi yapıştırarak 50 sayıya kadar hesaplatabilirsin. 50 sayı ve 30 basamak sınırı aşılırsa hata mesajı gösterilir. ## Öklid algoritması kaç adımda biter? Kalanlar her adımda küçüldüğü için algoritma mutlaka durur. En uzun süren girişler art arda gelen iki Fibonacci sayısıdır, çünkü bu durumda her bölümde bölüm 1 çıkar ve kalanlar olabildiğince yavaş azalır. 144 ile 89 için hesap şöyle ilerler: ``` 144 = 1 × 89 + 55 89 = 1 × 55 + 34 55 = 1 × 34 + 21 34 = 1 × 21 + 13 21 = 1 × 13 + 8 13 = 1 × 8 + 5 8 = 1 × 5 + 3 5 = 1 × 3 + 2 3 = 1 × 2 + 1 2 = 2 × 1 + 0 → EBOB = 1 (10 adım) ``` Lamé teoremi bu üst sınırı genel olarak verir: bölme adımı sayısı, küçük sayının basamak sayısının 5 katını geçmez. 89 iki basamaklı olduğu için sınır 10 adımdır ve bu örnek sınıra tam oturur. 30 basamaklı sayılarda bile adım sayısı 150'yi aşmaz; araç bu yüzden büyük girişlerde de beklemeden sonuç verir. Aynı yöntemle başka bir kontrol yapabilirsin: 1071 ile 462 için 1071 = 2 × 462 + 147, 462 = 3 × 147 + 21, 147 = 7 × 21 + 0 adımlarından EBOB 21, EKOK da 1071 × 462 ÷ 21 = 23562 çıkar. Liste uzadıkça EKOK hızla büyür. 1'den 10'a kadar bütün sayıların EKOK'u 2520'dir; bu, 2³ × 3² × 5 × 7 çarpımına eşittir ve her asalın 10'u geçmeyen en büyük kuvveti alınarak bulunur. ## EBOB ve EKOK'ta sık yapılan hatalar En yaygın hata EBOB ile EKOK'u birbirine karıştırmaktır. Akılda tutmak için şu kural yeterli: EBOB hiçbir zaman girilen en küçük sayıdan büyük olamaz, EKOK da hiçbir zaman girilen en büyük sayıdan küçük olamaz. Sonucun bu sınırların dışına çıkıyorsa iki kavramı karıştırmışsındır. Sık görülen bir başka hata, EBOB × EKOK = çarpım bağıntısını üç sayıya genellemektir; bu bağıntı yalnızca iki sayı için doğrudur. Çarpanlara ayırmada üsleri yanlış seçmek de sık yapılır: EBOB için en küçük üs, EKOK için en büyük üs alınır. Son olarak bazıları EKOK sorusunda sayıların çarpımını cevap sanar. Sayılar aralarında asal değilse çarpım EKOK'tan büyüktür. ## Sıkça sorulan sorular ### EBOB ile ortak bölen aynı şey midir? Hayır. Ortak bölen, sayıların hepsini bölen herhangi bir sayıdır; EBOB bunların en büyüğüdür. 12 ve 18'in ortak bölenleri 1, 2, 3 ve 6'dır, EBOB ise 6'dır. Bütün ortak bölenler EBOB'un da bölenidir. ### EKOK sonsuz olabilir mi? Ortak katlar sonsuzdur, ama EKOK bunların en küçüğüdür ve her zaman bellidir. Verilen sayıların çarpımından büyük olmaz. ### Sıfır neden kabul edilmiyor? Sıfır her sayının katıdır ve sıfıra bölme tanımsızdır. EBOB ve EKOK kavramları pozitif tam sayılar için tanımlandığından araç sıfırı kabul etmez. ### Kaç sayıyla çalışabilirim? En az 2, en çok 50 sayı girebilirsin. Üç ve daha fazla sayıda EBOB ve EKOK ikişer ikişer hesaplanır; sonuç, sayıların girilme sırasından bağımsızdır. ## EBOB EKOK aracını nasıl kullanırım? "Sayılar" bölümündeki kutulara en az iki pozitif tam sayı yaz; üçüncü sayı için "Sayı ekle"ye bas, örneğin 18, 24 ve 30. Sonuçta EBOB, EKOK ve kaç sayı girdiğin gösterilir. Varsayılan örnek 12 ve 18'dir. Sonuçları elle doğrulamak istersen yukarıdaki asal çarpan yöntemini dene; iki yöntemin sonucu aynı çıkmalıdır. --- Bu metin https://hesapo.com/ebob-ekok/ sayfasının Markdown sürümüdür (Hesapo). Hesaplayıcı yalnız sayfada çalışır. Atıf için sayfanın adresini kullanın.